設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線(xiàn)C：x2=43y的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率e=12且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2的直線(xiàn)l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線(xiàn)l,使得OM?ON=-2．若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）若AB是橢圓C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的弦，MN∥AB，求證：|AB|2|MN|為定值．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
3
1
2
OM
?
ON
|
AB
|
2
|
MN
|
【考點(diǎn)】直線(xiàn)與橢圓的綜合．
【答案】（1）；
（2）存在直線(xiàn)l，使得=-2，證明如下：
由題可知，橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），直線(xiàn)l與橢圓必相交．
①當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，M（1，），N（1，-），∴ ，不合題意．
②設(shè)存在直線(xiàn)l為y=k（x-1）（k≠0），且M（x1，y1），N（x2，y2）．
由
得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
，，
=
所以，
故直線(xiàn)l的方程為或；
（3）證明：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4）
由（2）可得：|MN|=
=．
由
消去y，并整理得：，
|AB|=，
∴為定值．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）存在直線(xiàn)l，使得
OM
?
ON
由題可知，橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），直線(xiàn)l與橢圓必相交．
①當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，M（1，
3
2
3
2
OM
?
ON
=
（
1
，
3
2
）
?
（
1
，
-
3
2
）
=
1
-
9
4
=
-
5
4
②設(shè)存在直線(xiàn)l為y=k（x-1）（k≠0），且M（x1，y1），N（x2，y2）．
由
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
y = k （ x - 1 ） |
x
1
+
x
2
=
8
k
2
3
+
4
k
2
x
1
?
x
2
=
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
OM
?
ON
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=
x
1
x
2
+
k
2
[
x
1
x
2
-
（
x
1
+
x
2
）
+
1
]
=
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
+
k
2
（
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
-
8
k
2
3
+
4
k
2
+
1
）
=
-
5
k
2
-
12
3
+
4
k
2
=
-
2
所以
k
=±
2
故直線(xiàn)l的方程為
y
=
2
（
x
-
1
）
y
=
-
2
（
x
-
1
）
（3）證明：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4）
由（2）可得：|MN|=
1
+
k
2
|
x
1
-
x
2
|
=
（
1
+
k
2
）
[
（
x
1
+
x
2
）
2
-
4
x
1
x
2
]
=
（
1
+
k
2
）
[
（
8
k
2
3
+
4
k
2
）
2
-
4
（
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
）
]
=
12
（
k
2
+
1
）
3
+
4
k
2
由
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
y = kx |
x
2
=
12
3
+
4
k
2
|AB|=
1
+
k
2
|
x
3
-
x
4
|
=
4
3
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
∴
|
AB
|
2
|
MN
|
=
48
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
12
（
k
2
+
1
）
3
+
4
k
2
=
4
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：172引用：9難度：0.5
相似題
-
1．設(shè)橢圓
+x2a2=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)l與直線(xiàn)AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：4564引用：26難度：0.3 -
2．已知橢圓C：
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，-1），離心率為x2a2+y2b2．32
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)B（1，0），求證：點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：371引用：4難度：0.5 -
3．如果橢圓
的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線(xiàn)方程是（ ）x236+y29=1發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：460引用：3難度：0.6