設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線C：x2=43y的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率e=12且過橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l,使得OM?ON=-2．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
（3）若AB是橢圓C經(jīng)過原點(diǎn)O的弦，MN∥AB，求證：|AB|2|MN|為定值．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
3
1
2
OM
?
ON
|
AB
|
2
|
MN
|
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）；
（2）存在直線l，使得=-2，證明如下：
由題可知，橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），直線l與橢圓必相交．
①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，M（1，），N（1，-），∴ ，不合題意．
②設(shè)存在直線l為y=k（x-1）（k≠0），且M（x1，y1），N（x2，y2）．
由
得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
，，
=
所以，
故直線l的方程為或；
（3）證明：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4）
由（2）可得：|MN|=
=．
由
消去y，并整理得：，
|AB|=，
∴為定值．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）存在直線l，使得
OM
?
ON
由題可知，橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），直線l與橢圓必相交．
①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，M（1，
3
2
3
2
OM
?
ON
=
（
1
，
3
2
）
?
（
1
，
-
3
2
）
=
1
-
9
4
=
-
5
4
②設(shè)存在直線l為y=k（x-1）（k≠0），且M（x1，y1），N（x2，y2）．
由
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
y = k （ x - 1 ） |
x
1
+
x
2
=
8
k
2
3
+
4
k
2
x
1
?
x
2
=
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
OM
?
ON
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=
x
1
x
2
+
k
2
[
x
1
x
2
-
（
x
1
+
x
2
）
+
1
]
=
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
+
k
2
（
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
-
8
k
2
3
+
4
k
2
+
1
）
=
-
5
k
2
-
12
3
+
4
k
2
=
-
2
所以
k
=±
2
故直線l的方程為
y
=
2
（
x
-
1
）
y
=
-
2
（
x
-
1
）
（3）證明：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4）
由（2）可得：|MN|=
1
+
k
2
|
x
1
-
x
2
|
=
（
1
+
k
2
）
[
（
x
1
+
x
2
）
2
-
4
x
1
x
2
]
=
（
1
+
k
2
）
[
（
8
k
2
3
+
4
k
2
）
2
-
4
（
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
）
]
=
12
（
k
2
+
1
）
3
+
4
k
2
由
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
y = kx |
x
2
=
12
3
+
4
k
2
|AB|=
1
+
k
2
|
x
3
-
x
4
|
=
4
3
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
∴
|
AB
|
2
|
MN
|
=
48
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
12
（
k
2
+
1
）
3
+
4
k
2
=
4
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：172引用：9難度：0.5
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