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試題詳情
已知動圓P與圓O1：x2-x+y2=0內(nèi)切，且與直線x=-1相切，設動圓圓心P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過曲線C上一點M（2，y0）（y0＞0）作兩條直線l1，l2與曲線C分別交于不同的兩點A，B，若直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，且k1k2=1．證明：直線AB過定點．
O
1
：
x
2
-
x
+
y
2
=
0
【考點】軌跡方程．
【答案】（1）y2=2x；
（2）證明：易知M（2，2），設點A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為：x=my+b，
聯(lián)立
得y2-2my-2b=0，所以
，則
，
因為k1k2==1，即y1y2-2（y1+y2）=x1x2-2（x1+x2），
所以b2-2b-4m2+4m=0，則（b-1）2=（2m-1）2，
所以b=2m或b=-2m+2，
當b=2m時，直線AB的方程：x=my+2m過點（0，-2），
當b=-2m+2時，直線AB的方程：x=my-2m+2過定點（2，2）與M重合，舍去；
所以直線AB過定點（0，-2）．
（2）證明：易知M（2，2），設點A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為：x=my+b，
聯(lián)立
x = my + b |
y 2 = 2 x |
y 1 + y 2 = 2 m |
y 1 y 2 = - 2 b |
x 1 + x 2 = 2 m 2 + 2 b |
x 1 x 2 = b 2 |
因為k1k2=
y
1
-
2
x
1
-
2
?
y
2
-
2
x
2
-
2
所以b2-2b-4m2+4m=0，則（b-1）2=（2m-1）2，
所以b=2m或b=-2m+2，
當b=2m時，直線AB的方程：x=my+2m過點（0，-2），
當b=-2m+2時，直線AB的方程：x=my-2m+2過定點（2，2）與M重合，舍去；
所以直線AB過定點（0，-2）．
【解答】
【點評】
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