將一個矩形紙片OABC放置在平面直角坐標系中，點O（0，0），點A（4，0），點C（0，3），點P在邊OA上（點P不與點O，A重合），折疊該紙片，使折痕所在的直線經(jīng)過點P，并與y軸的正半軸相交于點Q，且∠OQP=30°，點O的對應(yīng)點O′落在第一象限．設(shè)OP=t.
（Ⅰ）如圖①，當(dāng)t=23時，求∠O'PA的大小和點O′的坐標；
（Ⅱ）如圖②，若折疊后重合部分為四邊形，點C的對應(yīng)點為C′，且O′在直線BC的下方，O′C′，PQ分別與邊BC相交于點D，E，試用含有t的式子表示重合部分的面積S，并直接寫出t的取值范圍；
（Ⅲ）若折疊后重合部分的面積為738，求t的值（直接寫出結(jié)果即可）．
?
3
）
2
3
7
3
8
【考點】四邊形綜合題．
【答案】（Ⅰ）60°，（1，）；
（Ⅱ）S=-t2+2t-，且1＜t＜2；
（Ⅲ）t的值為或．
3
3
（Ⅱ）S=-
3
2
3
3
（Ⅲ）t的值為
3
2
7
2
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：951引用：1難度：0.2
相似題
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1．【問題發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖①，在正方形ABCD中，G是BC上一點（點G與B，C不重合），AE⊥DG交DG于點E，CF⊥DG交DG于點F．試猜想線段AE，CF和EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
【延伸探究】
（2）在其余條件不變的基礎(chǔ)上延長AE，交DC于點H，連接AG，BH，交于點P，如圖②．求證：AG⊥BH；
【問題解決】
（3）如圖③是一塊邊長為1米的正方形鋼板ABCD．由于磨損，該鋼板的頂點B，C，D均不能使用，王師傅計劃過點A裁出一個形如四邊形AEGF的零件，其中點F，E，G分別在AB，CD，BC邊上，且F為AB的中點，GF⊥GE交DC于點E，連接AE，求王師傅能裁出四邊形AEGF的最大面積是多少？發(fā)布：2025/5/23 8:30:2組卷：293引用：2難度：0.3 -
2．問題提出
（1）如圖①，在矩形ABCD的邊BC上找一點E，將矩形沿直線DE折疊，點C的對應(yīng)點為C′，再在AB上找一點F，將矩形沿直線DF折疊，使點A的對應(yīng)點A′落在DC上，則∠EDF=．
問題探究
（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，點P是矩形ABCD邊AB上一點，連接PD、PC，將△ADP、△BCP分別沿PD、PC翻折，得到△A′DP、△B′PC，當(dāng)P、A′、B′三點共線時，則稱P為AB邊上的“優(yōu)疊點”，求此時AP的長度．
問題解決
（3）如圖③，矩形ABCD位于平面直角坐標系中，AD=4，AD＜AB，點A在原點，B，D分別在x軸與y軸上，點E和點F分別是CD和BC邊上的動點，運動過程中始終保持DE+BF=4．當(dāng)點P是AB邊上唯一的“優(yōu)疊點”時，連接PE交BD于點M，連接PF交BD于點N，請問DM+BN是否能取得最大值？如果能，請確定此時點M的位置（即求出點M的坐標）及四邊形ADEP的面積，若不能，請說明理由．
發(fā)布：2025/5/23 8:30:2組卷：691引用：1難度：0.1 -
3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD中心在原點，且頂點A的坐標為（1，1）．動點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)，繞著正方形的邊按順時針方向運動，當(dāng)P點回到A點時兩點同時停止運動，運動時間為t秒．連接OP、OQ，線段OP、OQ與正方形的邊圍成的面積較小部分的圖形記為M．
（1）請寫出B、C、D點的坐標；
（2）若P、Q的速度均為1個單位長度/秒，試判斷在運動過程中，M的面積是否發(fā)生變化，如果不變求出該值，如果變化說明理由；
（3）若P點速度為2個單位長度/秒，Q點為1個單位長度/秒，當(dāng)M的面積為時，求t的23
值．發(fā)布：2025/5/23 9:0:2組卷：270引用：2難度：0.1
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