已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），點(diǎn)A（22，32）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在斜率為2的直線l,使得當(dāng)直線l與橢圓C有兩個(gè)不同交點(diǎn)M，N時(shí)，能在直線y=53上找到一點(diǎn)P，在橢圓C上找到一點(diǎn)Q，滿足PM=NQ？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
A
（
2
2
，
3
2
）
y
=
5
3
PM
=
NQ
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）；
（2）不存在，理由：
假設(shè)存在這樣的直線 設(shè)直線l的方程為y=2x+t，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），，Q（x4，y4），MN的中點(diǎn)為D（x0，y0），
由
得9x2+8tx+2t2-2=0，
所以，且Δ=（8t）2-36（2t2-2）＞0，
則-3＜t＜3，∴
由知四邊形PMQN為平行四邊形，
而D為線段MN的中點(diǎn)，因此，D也是線段PQ的中點(diǎn)，
所以，可得，
又-3＜t＜3，所以，
因此點(diǎn)Q不在橢圓上．
所以這樣的直線l不存在．
x
2
2
+
y
2
=
1
（2）不存在，理由：
假設(shè)存在這樣的直線 設(shè)直線l的方程為y=2x+t，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
P
（
x
3
，
5
3
）
由
y = 2 x + t |
x 2 2 + y 2 = 1 |
所以
x
1
+
x
2
=
-
8
t
9
則-3＜t＜3，
y
1
+
y
2
=
2
（
x
1
+
x
2
）
+
2
t
=
2
t
9
y
0
=
y
1
+
y
2
2
=
t
9
由
PM
=
NQ
而D為線段MN的中點(diǎn)，因此，D也是線段PQ的中點(diǎn)，
所以
y
0
=
5
3
+
y
4
2
=
t
9
y
4
=
2
t
-
15
9
又-3＜t＜3，所以
-
7
3
＜
y
4
＜
-
1
因此點(diǎn)Q不在橢圓上．
所以這樣的直線l不存在．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：40引用：4難度：0.5
相似題
-
1．已知橢圓C：
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，-1），離心率為x2a2+y2b2．32
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)B（1，0），求證：點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：370引用：4難度：0.5 -
2．設(shè)橢圓
+x2a2=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：4509引用：26難度：0.3 -
3．如果橢圓
的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ）x236+y29=1發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：456引用：3難度：0.6