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與正三角形各邊都相切的圓叫做正三角形的內(nèi)切圓，與正四邊形各邊都相切的圓叫做正四邊形的內(nèi)切圓，…，與正n邊形各邊都相切的圓叫做正n邊形的內(nèi)切圓，設(shè)正n（n≥3）邊形的面積為S正n邊形，其內(nèi)切圓的半徑為r,試探索正n邊形的面積．（結(jié)果可用三角函數(shù)表示）
如圖①，當(dāng)n=3時，設(shè)AB切圓O于點C，連接OC，OA，OB，∴OC⊥AB，OA=OB，∴∠AOC=12AOB，AB=2BC．
在Rt△AOC中，∵∠AOC=12?360°3=60°，OC=r,∴AC=r?tan60°，AB=2r?tan60°，∴S△OAB=12?r?2rtan60°=r2tan60°，∴S正三角形=3S△OAB=3r2?tan60°．
（1）如圖②，當(dāng)n=4時，仿照（1）中的方法和過程可求得：S正四邊形=4r2?tan45°4r2?tan45°；
（2）如圖③，當(dāng)n=5時，仿照（1）中的方法和過程求S正五邊形；
（3）如圖④，根據(jù)以上探索過程，請直接寫出S正n邊形=nr2?tan180°nnr2?tan180°n．
∠
AOC
=
1
2
AOB
∠
AOC
=
1
2
?
360
°
3
=
60
°
S
△
OAB
=
1
2
?
r
?
2
rtan
60
°
=
r
2
tan
60
°
180
°
n
180
°
n
【答案】4r2?tan45°；nr2?tan
180
°
n
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2025/5/22 23:30:1組卷：216引用：6難度：0.5
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