【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：
如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點M是?ABC的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD=DB+BA．下面是運用“截長法”證明CD=DB+BA的部分證明過程．
證明：如圖2，在CD上截取CG=AB，連接MA、MB、MC和MG．
∵M是?ABC的中點，
∴MA=MC①
又∵∠A=∠C②
∴△MAB≌△MCG③
∴MB=MG
又∵MD⊥BC
∴BD=DG
∴AB+BD=CG+DG
即CD=DB+BA
根據(jù)證明過程，分別寫出下列步驟的理由：
①相等的弧所對的弦相等相等的弧所對的弦相等，
②同弧所對的圓周角相等同弧所對的圓周角相等，
③有兩組邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等有兩組邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；
【理解運用】如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB=4，BC=6，點M是?ABC的中點，MD⊥BC于點D，則BD=11；
【變式探究】如圖3，若點M是?AC的中點，【問題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．
【實踐應(yīng)用】根據(jù)你對阿基米德折弦定理的理解完成下列問題：
如圖4，BC是⊙O的直徑，點A圓上一定點，點D圓上一動點，且滿足∠DAC=45°，若AB=6，⊙O的半徑為5，求AD長．
?
ABC
?
ABC
?
ABC
?
AC
【考點】圓的綜合題．
【答案】相等的弧所對的弦相等；同弧所對的圓周角相等；有兩組邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；1
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/8/8 8:0:9組卷：936引用：3難度：0.3
相似題
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1．如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB于G，射線DO與直線CE相交于點E，直線DB與CE交于點H，且∠BDC=∠BCH．
（1）求證：直線CE是圓O的切線．
（2）如圖1，若OG=BG，BH=1，直接寫出圓O的半徑；
（3）如圖2，在（2）的條件下，將射線DO繞D點逆時針旋轉(zhuǎn)，得射線DM，DM與AB交于點M，與圓O及切線CF分別相交于點N，F(xiàn)，當GM=GD時，求切線CF的長．
發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：775引用：2難度：0.1 -
2．如圖，AB是圓O的直徑，弦CD與AB交于點H，∠BDC=∠CBE．
（1）求證：BE是圓O的切線；
（2）若CD⊥AB，AC=2，BH=3，求劣弧BC的長；
（3）如圖，若CD∥BE，作DF∥BC，滿足BC=2DF，連接FH、BF，求證：FH=BF．發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：96引用：1難度：0.1 -
3．如圖，AB是圓O的直徑，AB=6，D是半圓ADB上的一點，C是弧BD的中點．
（1）若∠ABD=30°，求BC的長和由弦BC、BD、和弧CD圍成的圖形面積；
（2）若弧AD的度數(shù)是120度，在半徑OB上是否存在點P，使得PC+PD的值最小，如果存在，請在備用圖中畫出P的位置，并求PC+PD的最小值，如果不存在，請說明理由．
發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：42引用：0難度：0.3