已知A（1，2）是離心率為22的橢圓E：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）上的一點(diǎn)，過(guò)A作兩條直線(xiàn)交橢圓于B、C兩點(diǎn)，若直線(xiàn)AB、AC的傾斜角互補(bǔ)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）試證明直線(xiàn)BC的斜率為定值，并求出這個(gè)定值；
（3）△ABC的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值？若不存在，說(shuō)明理由．
2
2
2
y
2
a
2
x
2
b
2
【考點(diǎn)】直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合；橢圓的幾何特征．
【答案】（1）；
（2）證明：設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，代入橢圓方程可得（k2+2）x2-x+（）=0，∵x=1是方程的一個(gè)實(shí)根，
∴由韋達(dá)定理得，1+xB=，故xB=，
∴=，
∴B（，），
∵AB、AC的傾斜角互補(bǔ)，故其斜率互為相反數(shù)，用-k代替k可得
C（，），∴==；
（3）存在，．
y
2
4
+
x
2
2
=
1
（2）證明：設(shè)直線(xiàn)AB的方程為
y
-
2
=
k
（
x
-
1
）
2
k
（
k
-
2
）
k
2
-
2
2
k
-
2
∴由韋達(dá)定理得，1+xB=
2
k
（
k
-
2
）
k
2
+
2
k
2
-
2
2
k
-
2
k
2
+
2
∴
y
B
=
k
（
x
B
-
1
）
+
2
-
2
k
2
-
4
k
+
2
2
k
2
+
2
∴B（
k
2
-
2
2
k
-
2
k
2
+
2
-
2
k
2
-
4
k
+
2
2
k
2
+
2
∵AB、AC的傾斜角互補(bǔ)，故其斜率互為相反數(shù)，用-k代替k可得
C（
k
2
+
2
2
k
-
2
k
2
+
2
-
2
k
2
+
4
k
+
2
2
k
2
+
2
k
BC
=
y
B
-
y
C
x
B
-
x
C
8
k
4
2
k
2
（3）存在，
2
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：65引用：2難度：0.3
相似題
-
1．已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線(xiàn)C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于2
．5
（1）求曲線(xiàn)C的方程；
（2）過(guò)F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：102引用：1難度：0.9 -
2．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)的離心率e；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)分別與雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線(xiàn)E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過(guò)點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線(xiàn)l與（2）中雙曲線(xiàn)E相交于不同于雙曲線(xiàn)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
3．若過(guò)點(diǎn)（0，-1）的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2=2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的直線(xiàn)有（ ?。l．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7