[問題情境]
（1）王老師給愛好學(xué)習(xí)的小明和小穎提出這樣一個(gè)問題：如圖①，在△ABC中，AB=AC，P為邊BC上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D，E，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F．求證：PD+PE=CF．
小明的證明思路是：
如圖②，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE=CF．
小穎的證明思路是：
如圖②，過點(diǎn)P作PG⊥CF，垂足為G，可以證得：PD=GF，PE=CG，則PD+PE=CF．
請(qǐng)你選擇小明、小穎兩種證明思路中的任意一種，寫出詳細(xì)的證明過程．
[變式探究]（2）如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，問題情境中，其余條件不變，求證：PD-PE=CF．
[結(jié)論運(yùn)用]（3）如圖④，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，點(diǎn)P為折痕EF上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PG⊥BE，PH⊥BG，垂足分別為G，H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．
[遷移拓展]（4）圖⑤是一個(gè)機(jī)器模型的截面示意圖，在四邊形ABCD中，E為AB邊上的一點(diǎn)，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分別為D，C，且AD?CE=DE?BC，AB=213cm,AD=3cm,BD=37cm,MN分別為AE，BE的中點(diǎn)，連接DM，CN，請(qǐng)直接寫出△DEM與△CEN的周長(zhǎng)之和．
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【考點(diǎn)】相似形綜合題．
【答案】（1）證明見解析部分；
（2）證明見解析部分；
（3）4；
（4）（6+2）dm．
（2）證明見解析部分；
（3）4；
（4）（6+2
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【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2025/5/24 0:30:1組卷：278引用：1難度：0.1
相似題
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1．如圖①，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D為BC邊上的一點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，連接DE．
（1）若AE=2BE，求證：AF=2CF；
（2）如圖②，若AB=，DE⊥BC，求2的值．BEAE發(fā)布：2025/5/24 7:30:1組卷：247引用：4難度：0.2 -
2．（1）如圖①，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EDF=45°，將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM，可以證明△DEF≌△DMF，進(jìn)一步推出EF，AE，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系為 ；
（2）在圖①中，連接AC分別交DE和DF于P，Q兩點(diǎn)，求證：△DPQ∽△DFE；
（3）如圖②，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且∠EAF=60°，連接BD分別與邊AE，AF交于M，N．當(dāng)∠DAF=15°時(shí)，猜想MN，DN，BM之間存在什么樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
發(fā)布：2025/5/24 8:0:1組卷：711引用：2難度：0.1 -
3．在△ABC中，AB=AC，P是BC邊上一點(diǎn)，PD∥AB，交AC于點(diǎn)D．
（1）如圖1，連接PA，若∠APD=∠B．
①求證：AB2=PA?BC；
②過點(diǎn)D作DF⊥PA于F，求的值；PFPC
（2）如圖2，過P作PG∥AC，交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)Q為△ABC外一點(diǎn)，且P，Q關(guān)于直線DG對(duì)稱，連接QA，QC，求證：∠B+∠Q=180°．發(fā)布：2025/5/24 7:0:1組卷：93引用：2難度：0.1
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