已知⊙O為△ACD的外接圓，AD=CD．
（1）如圖1，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)B，使BD=AD，連接CB．
①求證：△ABC為直角三角形；
②若⊙O的半徑為4，AD=5，求BC的值；
（2）如圖2，若∠ADC=90°，E為⊙O上的一點(diǎn)，且點(diǎn)D，E位于AC兩側(cè)，作△ADE關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)的圖形△ADQ，連接QC，試猜想QA，QC，QD三者之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明．
【考點(diǎn)】圓的綜合題．
【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②；（2）QC2=2QD2+QA2；證明見(jiàn)解析．
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【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：3150引用：10難度：0.2
相似題
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1．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，D是弧AC上一點(diǎn)，連接BD、AD，BD交AC于點(diǎn)M，∠BMC=∠BAD．
（1）如圖1，求證：BD平分∠ABC；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：DF∥AC；
（3）如圖3，在（2）的條件下，BC是⊙O的直徑，連接DC，AM=1，DC=，求四邊形BFDC的面積．6發(fā)布：2025/5/25 21:0:1組卷：147引用：1難度：0.4 -
2．如圖，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BC=6cm,點(diǎn)M，N是邊BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿著B(niǎo)C以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)沿著CB以每秒2cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，求△AMN的面積．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，∠MAN=45°．
（3）當(dāng)以MN為直徑的圓與△AMN的邊有且只有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍．
發(fā)布：2025/5/26 0:0:1組卷：335引用：2難度：0.3 -
3．如圖，點(diǎn)C為⊙O外一點(diǎn)，BC切⊙O于點(diǎn)B，弦AB∥OC，OC交⊙O于D．
（1）如圖1，連接BD，當(dāng)∠AOB=度時(shí)，四邊形OABD是菱形；
（2）在（1）的條件下，
①試探究AB與BC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②如圖2，連接AC，若⊙O的半徑為2，陰影部分的面積為 （結(jié)果保留π）．發(fā)布：2025/5/25 21:30:1組卷：54引用：1難度：0.4