如圖1，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M為AB中點，∠EMF=45°，且∠EMF兩邊分別于AC，BC的延長線交于點E、點F．
（1）若AE=BF，求證：ME=MF；
（2）如圖2，將∠EMF繞點M旋轉(zhuǎn)，∠EMF兩邊分別于AC，BC交于點G、點H．
①求證：△FCM∽△MCE，
②若MC=2，CF=2，求MH的長．
2
【考點】相似形綜合題．
【答案】（1）證明見解答過程；（2）①證明見解答過程；②MH=．
2
5
3
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：179引用：4難度：0.3
相似題
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1．【問題探究】如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊DC、BC上，且AE⊥DF，求證：AE=DF．
【知識遷移】如圖2，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E在邊AD上，點M、N分別在邊AB、CD上，且BE⊥MN，求的值．BEMN
【拓展應(yīng)用】如圖3，在平行四邊形ABCD中，AB=m,BC=n,點E、F分別在邊AD、BC上，點M、N分別在邊AB、CD上，當(dāng)∠EFC與∠MNC的度數(shù)之間滿足什么數(shù)量關(guān)系時，有試寫出其數(shù)量關(guān)系，并說明理由．EFMN=mn？
發(fā)布：2025/5/23 12:30:2組卷：746引用：1難度：0.4 -
2．綜合與實踐
【問題情境】
數(shù)學(xué)活動課上，楊老師出示了教材上的一個問題：
如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是BC上的任意一點，DE⊥AG于點E，BF∥DE，交AG于點F，求證：AF-BF=EF．
數(shù)學(xué)興趣小組的小明同學(xué)做出了回答，解題思路如下：
由正方形的性質(zhì)得到AB=AD，∠BAD=90°，
再由垂直和平行可知∠AED=∠AFB=90°，
再利用同角的余角相等得到∠ADE=∠BAF，
則可根據(jù)“AAS”判定△ADE≌△BAF，
得到AE=BF，所以AF-BF=AF-AE=EF．
【建立模型】
該數(shù)學(xué)小組小芳同學(xué)受此問題啟發(fā)，對上面的問題進(jìn)行了改編，并提出了如下問題：
（1）如圖2，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)是對角線AC上的點，BF∥DE，連接BE，DF．
求證：四邊形BEDF是菱形；
【模型拓展】
該興趣小組的同學(xué)們在楊老師的指導(dǎo)下大膽嘗試，改變圖形模型，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點；
（2）如圖3，若正方形ABCD的邊長為12，E是對角線AC上的一點，過點E作EG⊥DE，交邊BC于點G，連接DG，交對角線AC于點F，CF：EF=3：5，求FG?DF的值．
發(fā)布：2025/5/23 12:30:2組卷：676引用：1難度：0.4 -
3．已知點E、F分別是四邊形ABCD邊AB、AD上的點，且DE與CF相交于點G．
（1）如圖①，若AB∥CD，AB=CD，∠A=90°，且AD?DF=AE?DC，求證：∠CGE=90°；
（2）如圖②，若AB∥CD，AB=CD，且∠A=∠EGC時，求證：DE?CD=CF?DA；
（3）如圖③，若BA=BC=3，DA=DC=4，設(shè)DE⊥CF，當(dāng)∠BAD=90°時，直接寫出的值．DECF
發(fā)布：2025/5/23 13:30:1組卷：556引用：2難度：0.3