已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A（-2，0），且離心率為22．
（1）求C的方程；
（2）直線y=kx（k≠0）交C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AE，AF分別與y軸交于點(diǎn)M，N，求證：M，F(xiàn)1，N，F(xiàn)2四點(diǎn)共圓．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
A
（
-
2
，
0
）
2
2
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）+y2=1；
（2）證明：設(shè)點(diǎn)E（x0，y0）（不妨設(shè)x0＞0），則點(diǎn)F（-x0，-y0），
由
，整理可得：x2=，
所以x0=，y0=，
所以直線AE的方程為y=（x+），
因?yàn)橹本€AE與y軸交于點(diǎn)M，令x=0得y=，
即M（0，），同理可得點(diǎn)N（0，），
所以=（1，），=（1，），
所以?=（1，）?（1，）=1+=0，
所以F1M⊥F1N，同理F2M⊥F2N，
則以MN為直徑的圓恒過焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，即M，F(xiàn)1，N，F(xiàn)2四點(diǎn)共圓．
綜上所述，可證得M，F(xiàn)1，N，F(xiàn)2四點(diǎn)共圓．
x
2
2
（2）證明：設(shè)點(diǎn)E（x0，y0）（不妨設(shè)x0＞0），則點(diǎn)F（-x0，-y0），
由
y = kx |
x 2 2 + y 2 = 1 |
2
1
+
2
k
2
所以x0=
2
1
+
2
k
2
2
k
1
+
2
k
2
所以直線AE的方程為y=
k
1
+
1
+
2
k
2
2
因?yàn)橹本€AE與y軸交于點(diǎn)M，令x=0得y=
2
k
1
+
1
+
2
k
2
即M（0，
2
k
1
+
1
+
2
k
2
2
k
1
-
1
+
2
k
2
所以
F
1
M
2
k
1
+
1
+
2
k
2
F
1
N
2
k
1
-
1
+
2
k
2
所以
F
1
M
F
1
N
2
k
1
+
1
+
2
k
2
2
k
1
-
1
+
2
k
2
2
k
2
1
-
（
1
+
2
k
2
）
所以F1M⊥F1N，同理F2M⊥F2N，
則以MN為直徑的圓恒過焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，即M，F(xiàn)1，N，F(xiàn)2四點(diǎn)共圓．
綜上所述，可證得M，F(xiàn)1，N，F(xiàn)2四點(diǎn)共圓．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：77引用：4難度：0.5
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1．已知橢圓C：
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（Ⅰ）求橢圓的方程；
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