如圖，在頂點為P的拋物線y=a（x-h）2+k（a≠0）的對稱軸l上取點A（h,k+14a），過A作BC⊥l交拋物線于B、C兩點（B在C的左側(cè)），點A′和點A關(guān)于點P對稱；過A′作直線m⊥l,又分別過點B、C作BE⊥m和CD⊥m,垂足為E、D．在這里我們把點A叫此拋物線的焦點，BC叫此拋物線的直徑，矩形BCDE叫此拋物線的焦點矩形．
（1）直接寫出拋物線y=14x2的焦點坐標以及直徑的長．
（2）求拋物線y=14（x-3）2+2的焦點坐標以及直徑的長．
（3）已知拋物線y=a（x-h）2+k（a≠0）的直徑為32，求a的值．
（4）①已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的焦點矩形的面積為2，求a的值．
②直接寫出拋物線y=14（x-3）2+2的焦點矩形與拋物線y=x2-2mx+m2+1有兩個公共點時m的取值范圍．
1
4
a
1
4
1
4
3
2
1
4
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）（0，1），4；
（2）（3，3），4；
（3）±；
（4）①a=±；
②當1-＜m≤1或5≤m＜5+時，2個公共點．
（2）（3，3），4；
（3）±
2
3
（4）①a=±
1
2
②當1-
2
2
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/10/3 4:0:1組卷：344引用：3難度：0.1
相似題
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1．如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點，且點A（1，-4）為拋物線的頂點，點B在x軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點Q是y軸上一點，且△ABQ為直角三角形，求點Q的坐標．發(fā)布：2025/6/25 8:30:1組卷：6972引用：21難度：0.1 -
2．給定一個函數(shù)，如果這個函數(shù)的圖象上存在一個點，它的橫、縱坐標相等，那么這個點叫做該函數(shù)的不變點．
（1）一次函數(shù)y=3x-2的不變點的坐標為．
（2）二次函數(shù)y=x2-3x+1的兩個不變點分別為點P、Q（P在Q的左側(cè)），將點Q繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點R，求點R的坐標．
（3）已知二次函數(shù)y=ax2+bx-3的兩個不變點的坐標為A（-1，-1）、B（3，3）．
①求a、b的值．
②如圖，設(shè)拋物線y=ax2+bx-3與線段AB圍成的封閉圖形記作M．點C為一次函數(shù)y=-x+m的不變點，以線段AC為邊向下作正方形ACDE．當D、E兩點中只有一個點在封閉圖形M的內(nèi)部（不包含邊界）時，求出m的取值范圍．13發(fā)布：2025/6/25 7:30:2組卷：348引用：2難度：0.1 -
3．如圖，已知拋物線經(jīng)過A（1，0），B（0，3）兩點，對稱軸是直線x=-1．
（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）動點Q從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運動，同時動點M從O點出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運動，過點Q作x軸的垂線交線段AB于點N，交拋物線于點P，設(shè)運動的時間為t秒．
①當t為何值時，四邊形OMPQ為矩形；
②△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．發(fā)布：2025/6/25 6:0:1組卷：1080引用：59難度：0.5
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