如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），連接BC，點P是直線BC上方拋物線上一動點，過點P作PE⊥x軸于點E，交BC于點F，作PD⊥BC于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點F是線段PE的三等分點，求點P的坐標；
（3）線段PD是否存在最大值，若存在，請求出其最大值；若不存在，請說明理由．
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）y=-x2+2x+3；
（2）點P（2，3）或（，）；
（3）存在，．
（2）點P（2，3）或（
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（3）存在，
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【解答】
【點評】
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發(fā)布：2025/6/11 17:0:1組卷：116引用：2難度：0.5
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1．已知拋物線y=ax2-4ax-5a（a＞0且a為常數(shù)）的頂點為C，且經(jīng)過兩定點A，B（點A在點B的左側(cè)）．
（1）拋物線的對稱軸：直線 ，頂點C的坐標：．（用含a的式子表示）
（2）求拋物線所經(jīng)過的定點A，B的坐標．
（3）①若△ABC是等腰直角三角形，請求出拋物線的解析式，并在如圖所給定的平面直角坐標系中畫出該拋物線；
②在①的條件下，若M為對稱軸上一點，N為拋物線上一點，是否存在以A，B，M，N四點組成的平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/6/14 18:0:2組卷：134引用：5難度：0.3 -
2．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸為直線x=-1，部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中：①abc＞0；②b2-4ac＞0；③4a+c＞0；④若t為任意實數(shù)，則有a-bt≤at2+b、⑤當圖象經(jīng)過點（，2）時，方程ax2+bx+c-2=0的兩根為x1，x2（x1＜x2），則x1+2x2=-2，其中正確的結(jié)論有（ ?。?/h2>12發(fā)布：2025/6/14 18:0:2組卷：3333引用：12難度：0.3 -
3．在平面直角坐標系中，已知拋物線y=-x2+2mx-m2+3m+1（m為常數(shù)）．
（1）當m=1時，求出拋物線的頂點坐標．
（2）當拋物線的頂點到x軸的距離為4時，m的值．
（3）當m=1時，M為對稱軸上一點，過點M作MN平行x軸，交拋物線于點N，當y軸將MN分成1：2時，求點M坐標．
（4）當m=1時，已知A、B兩點均在拋物線y=-x2+2mx-m2+3m+1（m為常數(shù)）上，點A的橫坐標為a,點B的橫坐標為a+2，將拋物線上A、B兩點之間（含A、B兩點）的圖象記為M，當圖象M的最高點與最低點的縱坐標之差為2時，直接寫出a的值．發(fā)布：2025/6/14 17:0:2組卷：149引用：1難度：0.3
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