已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為12，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+6=0相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設P（4，0），A，B是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點，連接PB交橢圓C于另一點E，證明直線AE與x軸相交于點Q（1，0）．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
1
2
x
-
y
+
6
=
0
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）由題意知直線PB的斜率存在，設方程為y=k（x-4）代入橢圓方程可得（4k2+3）x2-32k2x+64k2-12=0
設B（x1，y1），E（x2，y2），則A（x1，-y1），
∴x1+x2=，x1x2=
又直線AE的方程為y-y2=
令y=0，則x=x2-=x2-==1
∴直線AE過x軸上一定點Q（1，0）．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（Ⅱ）由題意知直線PB的斜率存在，設方程為y=k（x-4）代入橢圓方程可得（4k2+3）x2-32k2x+64k2-12=0
設B（x1，y1），E（x2，y2），則A（x1，-y1），
∴x1+x2=
32
k
2
4
k
2
+
3
64
k
2
-
12
4
k
2
+
3
又直線AE的方程為y-y2=
y
2
+
y
1
x
2
-
x
1
（
x
-
x
2
）
令y=0，則x=x2-
y
2
（
x
2
-
x
1
）
y
2
+
y
1
k
（
x
2
-
4
）
（
x
2
-
x
1
）
k
（
x
1
+
x
2
-
8
）
2
x
1
x
2
-
8
（
x
1
+
x
2
）
x
1
+
x
2
-
8
∴直線AE過x軸上一定點Q（1，0）．
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布。
發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：105引用：15難度：0.3
相似題
-
1．已知橢圓C：
=1（a＞b＞0）的一個頂點坐標為A（0，-1），離心率為x2a2+y2b2．32
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點P，Q，線段PQ的中點為M，點B（1，0），求證：點M不在以AB為直徑的圓上．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：371難度：0.5 -
2．設橢圓
+x2a2=1（a＞b＞0）的右頂點為A，上頂點為B．已知橢圓的離心率為y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點，直線l與直線AB交于點M，且點P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：4574引用：26難度：0.3 -
3．如果橢圓
的弦被點（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ?。?/h2>x236+y29=1發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：460引用：3難度：0.6