已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（1，32）且離心率為12，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓E的左，右焦點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若過原點的直線l1與橢圓交于A，B兩點，AB不與x軸垂直，連接AF2，BF2，l2為∠AF2B的外角平分線，l3為直線x=4，求證：直線l1，l2，l3三線交于一點．
x
2
a
2
y
2
b
2
3
2
1
2
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）
（2）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則直線AB：y=kx+m，
設(shè)l1與l3交于P點，
只需證P在l2上，即只需證P到AF2、BF2的距離相等，
易知P（4，4k），AF2：y=，
點P（4，4k）到AF2的距離為：d1===2|k|，
因為點A在直線AB：y=kx+m和橢圓：上，
所以y1=kx1+m且+=1，
∴d1===2|k|，
同理點P（4，4k）到BF2的距離d2=2|k|，
∴d1=d2，
綜上所述：直線l1，l2，l3三線交于一點．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則直線AB：y=kx+m，
設(shè)l1與l3交于P點，
只需證P在l2上，即只需證P到AF2、BF2的距離相等，
易知P（4，4k），AF2：y=
y
1
x
1
-
1
（
x
-
1
）
點P（4，4k）到AF2的距離為：d1=
|
3
y
1
x
1
-
1
-
4
k
|
1
+
（
y
1
x
1
-
1
）
2
|
3
（
k
x
1
）
x
1
-
1
-
4
k
|
1
+
（
y
1
x
1
-
1
）
2
因為點A在直線AB：y=kx+m和橢圓：
x
2
4
+
y
2
3
=
1
所以y1=kx1+m且
x
1
2
4
y
1
2
3
∴d1=
|
3
（
k
x
1
+
m
）
x
1
-
1
-
4
k
-
m
|
1
+
3
（
1
-
x
1
2
4
）
（
x
1
-
1
）
2
2
|
（
k
+
m
）
（
x
1
-
4
）
|
|
x
1
-
4
|
同理點P（4，4k）到BF2的距離d2=2|k|，
∴d1=d2，
綜上所述：直線l1，l2，l3三線交于一點．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：33引用：1難度：0.2
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