約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個(gè)小三角形中有一個(gè)三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關(guān)于該邊的“優(yōu)美三角形”．例如：如圖1，在△ABC中，AD為邊BC上的中線，△ABD與△ABC相似，那么稱△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”．
（1）如圖2，在△ABC中，BC=2AB，求證：△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”；
（2）如圖3，已知△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”，點(diǎn)D是△ABC邊BC的中點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．
①求證：直線CA與⊙O相切；
②若⊙O的直徑為26，求線段AB的長(zhǎng)；
（3）已知三角形ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”，BC=4，∠B=30°，求△ABC的面積．
2
6
【考點(diǎn)】圓的綜合題．
【答案】（1）見解析；
（2）①見解析；
②4；
（3）2或2±2．
（2）①見解析；
②4；
（3）2
2
3
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：572引用：1難度：0.3
相似題
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1．如圖，AB是⊙O的直徑，E為⊙O上的一點(diǎn)，∠ABE的平分線交⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C的直線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．且∠PCA=∠CBD．
（1）求證：PC為⊙O的切線；
（2）若PC=2BO，PB=12，求⊙O的半徑及BE的長(zhǎng)．2發(fā)布：2025/5/21 15:0:1組卷：1340引用：4難度：0.1 -
2．如圖，已知AB為⊙O的直徑，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，OC∥AD，BA、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若AE=1，ED=3，求⊙O的半徑．
（3）若AO=4，∠ABD=30°，將△ABD以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，求BD掃過(guò)的圖形的面積（結(jié)果用π表示）．發(fā)布：2025/5/21 18:30:1組卷：421引用：3難度：0.3 -
3．如圖，△ABC中，∠BAC為直角，點(diǎn)P為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），以PB為直徑作⊙O，⊙O與BC交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．AD與PB交于點(diǎn)F．
（1）求證：∠PBA=∠BDE；
（2）如果∠PBD=2∠PBA，求證：BD=BF；
（3）如果AB=6，AC=8，
①令A(yù)P=x,BD=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②若PB∥DE，求的值．PFFB發(fā)布：2025/5/21 16:30:2組卷：588引用：1難度：0.4