如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOP為等邊三角形，A（0，2），點B為y軸上一動點，以BP為邊作等邊△PBC，延長CA交x軸于點E．
（1）求證：OB=AC；
（2）當(dāng)B點運動時，猜想AE的長度是否發(fā)生變化？并說明理由；
（3）在y軸上是否存在點Q，使得△AEQ是以AE為腰的等腰三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【考點】三角形綜合題．
【答案】（1）證明見解答過程；
（2）當(dāng)B點運動時，AE的長度不發(fā)生變化，理由見解答過程；
（3）P（0，6）或P（0，-2）．
（2）當(dāng)B點運動時，AE的長度不發(fā)生變化，理由見解答過程；
（3）P（0，6）或P（0，-2）．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/8/30 5:0:8組卷：59引用：1難度：0.3
相似題
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1．已知點O是線段AB的中點，點P是直線l上的任意一點，分別過點A和點B作直線l的垂線，垂足分別為點C和點D，我們定義垂足與中點之間的距離為“足中距”．
（1）[猜想驗證]如圖1，當(dāng)點P與點O重合時，請你猜想、驗證后直接寫出“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）[探究證明]如圖2，當(dāng)點P是線段AB上的任意一點時，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）[拓展延伸]如圖3，①當(dāng)點P是線段BA延長線上的任意一點時，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
②若∠COD=60°，求證：AC+BD=OC．3發(fā)布：2025/5/23 17:0:1組卷：258引用：3難度：0.1 -
2．【問題初探】
（1）如圖1，等腰Rt△ABC中，AB=AC，點D為AB邊一點，以BD為腰向下作等腰Rt△BDE，∠DBE=90°．連接CD，CE，點F為CD的中點，連接AF．猜想并證明線段AF與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．
【深入探究】
（2）在（1）的條件下，如圖2，將等腰Rt△BDE繞點B旋轉(zhuǎn)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
【拓展遷移】
（3）如圖3，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．在Rt△BDE中，∠DBE=90°，．連接CD，CE，點F為CD的中點，連接AF．Rt△BDE繞點B旋轉(zhuǎn)過程中，∠BDE=12∠BAC
①線段AF與CE的數(shù)量關(guān)系為：；
②若，BC=413，當(dāng)點F在等腰△ABC內(nèi)部且∠BCF的度數(shù)最大時，線段AF的長度為 ．BD=23發(fā)布：2025/5/23 17:0:1組卷：944引用：4難度：0.1 -
3．已知CD是△ABC中∠C的角平分線，點E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上，AD=m,BD=n.△ADE與△BDF的面積之和為S．
（1）當(dāng)∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC時，如圖1，若∠B=45°，m=3，則n=，S=；2
（2）如圖2，當(dāng)∠ACB=∠EDF=90°時，
①求證：DE=DF；
②直接寫出S與m,n的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖3，當(dāng)∠ACB=60°，∠EDF=120°，m=6，n=4時，請直接寫出S的大?。?br />
發(fā)布：2025/5/23 16:0:1組卷：232引用：1難度：0.1