綜合與實踐
小明在劉老師的指導下開展“探究四點共圓的條件”活動,得出結論:對角互補的四邊形四個頂點共圓.小明繼續(xù)利用上述結論進行探究.
【提出問題】
如圖1,在線段AC同側有兩點B,D,連接AD,AB,BC,CD,如果∠B=∠D,那么A,B,C,D四點在同一個圓上.
探究展示:
如圖2,作經過點A,C,D的⊙O,在劣弧AC上取一點E(不與A,C重合),連接AE,CE,則∠AEC+∠D=180°(依據1). ∵∠B=∠D,∴∠AEC+∠B=180°,∴點A,B,C,E四點在同一個圓上(對角互補的四邊形四個頂點共圓),∴點B,D在點A,C,E所確定的⊙O上(依據2).∴點A,B,C,D四點在同一個圓上. |
依據1:
圓內接四邊形的對角互補
圓內接四邊形的對角互補
;依據2:過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓
過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓
.【拓展延伸】(2)如圖3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,將△ABC繞點A逆時針旋轉,得到△ANM,旋轉角為α(0<α<90°),連接CM交BN于點D,連接BM.小明發(fā)現,旋轉過程中,點D始終為BN的中點,為驗證結論,小明連接AD,判斷A,D,B,C四點共圓后得出結論.
①請你幫小明證明ND=DB;
②當△BDM為直角三角形,且BN=4時,請直接寫出BC的長.
【考點】四點共圓.
【答案】圓內接四邊形的對角互補;過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓
【解答】
【點評】
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發(fā)布:2024/7/2 8:0:9組卷:295引用:1難度:0.1
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1.綜合與實踐
“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動,得出結論:對角互補的四邊形四個頂點共圓.該小組繼續(xù)利用上述結論進行探究.
提出問題:
如圖1所示,在線段AC同側有兩點B,D,連接AD,AB,BC,CD,如果∠B=∠D,那么A,B,C,D四點在同一個圓上.
探究展示:
如圖2所示,作經過點A,C,D的⊙O,在劣弧AC上取一點E(不與A,C重合),連接AE,CE,則∠AEC+∠D=180°(依據1)
∵∠B=∠D
∴∠AEC+∠B=180°
∴點A,B,C,E四點在同一個圓上(對角互補的四邊形四個頂點共圓)
∴點B,D在點A,C,E所確定的⊙O上(依據2)
∴點A,B,C,D四點在同一個圓上
反思歸納:
(1)上述探究過程中的“依據1”、“依據2”分別是指什么?
依據1:;
依據2:.
(2)如圖3所示,在四邊形ABCD中,∠1=∠2,∠3=42°,則∠4的度數為 .
拓展探究:
(3)如圖4所示,已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,點D在BC上(不與BC的中點重合),連接AD.作點C關于AD的對稱點E,連接EB并延長交AD的延長線于F,連接AE,DE.求證:A,D,B,E四點共圓.發(fā)布:2024/7/21 8:0:9組卷:222引用:1難度:0.3 -
2.綜合與實踐:
“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動,得出結論:對角互補的四邊形四個頂點共圓.該小組繼續(xù)利用上述結論進行探究.
提出問題:
如圖1所示,在線段AC同側有兩點B,D,連接AD,AB,BC,CD,如果∠B=∠D,那么A,B,C,D四點在同一個圓上.
探究展示:
如圖2所示,作經過點A,C,D的⊙O,在劣弧AC上取一點E(不與A,C重合),連接AE,CE,則∠AEC+∠D=180°,(依據1)
∵∠B=∠D,
∴∠AEC+∠B=180°,
∴點A,B,C,E四點在同一個圓上,(對角互補的四邊形四個頂點共圓)
∴點B,D在點A,C,E所確定的⊙O上,(依據2)
∴點A,B,C,D四點在同一個圓上;
反思歸納:①圓內接四邊形對角互補;
②對角互補的四邊形四個頂點共圓;
③過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓;
④經過兩點的圓的圓心在這兩點所連線段的垂直平分線上;
依據1:;(從框內選一個選項,直接填序號)
依據2:.(從框內選一個選項,直接填序號)
(2)如圖3所示,在四邊形ABCD中,∠1=∠2=80°,∠3=42°,則∠4的度數為 .
?發(fā)布:2024/9/21 14:0:9組卷:252引用:1難度:0.4 -
3.請仔細閱讀以下材料:
定理一:一般地,如圖1,四邊形ABCD中,如果連接兩條對角線后形成的∠BAC=∠BDC,則A,B,C,D四點共圓.我們由定理可以進一步得出結論:∠BDA=∠BCA,∠DBC=∠DAC,∠ACD=∠ABD.
定理二:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
溫馨提示:下面問題的關鍵地方或許能夠用到上述定理,如果用到,請直接運用相關結論;如果你有自己更好的做法,那就以自己的做法為主,只要正確,一樣得分.
探究問題:如圖2,在△ABC和△EFC中,AC=BC,EC=FC,∠ACB=∠ECF=90°,連接BF,AE交于點D,BF交AC于點H,連接CD.
(1)求證BF=AE;
(2)請直接寫出∠ADB=度,∠BDC=度;
(3)若∠DBC=15°,求證AH=2CD.發(fā)布:2024/8/6 8:0:9組卷:381引用:3難度:0.1
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