問題的提出：如果點P是銳角△ABC內(nèi)一動點，如何確定一個位置，使點P到△ABC的三頂點的距離之和PA+PB+PC的值為最小？
（1）問題的轉(zhuǎn)化：把△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′C′，連接PP′，這樣就把確定PA+PB+PC的最小值的問題轉(zhuǎn)化成確定BP+PP′+P′C的最小值的問題了，請你利用圖1證明：PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′；
（2）問題的解決：當點P到銳角△ABC的三頂點的距離之和PA+PB+PC的值為最小時，求∠APB和∠APC的度數(shù)；
（3）問題的延伸：如圖2是有一個銳角為30°的直角三角形，如果斜邊為2，點P是這個三角形內(nèi)一動點，請你利用以上方法，求點P到這個三角形各頂點的距離之和的最小值．
【考點】幾何變換綜合題．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/7/17 8:0:9組卷：970引用：3難度：0.1
相似題
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1．如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．
（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關系是 ，位置關系是 ；
（2）探究證明：把△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4，AB=10，請直接寫出△PMN面積的最大值．
發(fā)布：2025/6/16 20:30:1組卷：7189引用：10難度：0.1 -
2．閱讀下面材料，完成（1）～（3）題．
數(shù)學課上，老師出示了這樣一道題：
如圖1，△ABC中，AC=BC=a,∠ACB=90°，點D在AB上，且AD=kAB（其中0＜k＜），直線CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°與直線CB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后相交于點E，探究線段DC、DE的數(shù)量關系，并證明．12
同學們經(jīng)過思考后，交流了自己的想法：
小明：“通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)DC與DE相等”；
小偉：“通過構造全等三角形，經(jīng)過進一步推理，可以得到DC與DE相等”
小強：“通過進一步的推理計算，可以得到BE與BC的數(shù)量關系”
老師：“保留原題條件，連接CE交AB于點O．如果給出BO與DO的數(shù)量關系，那么可以求出CO?EO的值”
（1）在圖1中將圖補充完整，并證明DC=DE；
（2）直接寫出線段BE與BC的數(shù)量關系（用含k的代數(shù)式表示）；
（3）在圖2中將圖補充完整，若BO=DO，求CO?EO的值（用含a的代數(shù)式表示）．513發(fā)布：2025/6/16 18:30:2組卷：538引用：2難度：0.2 -
3．如圖①，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，D是BC的中點．
小明對圖①進行了如下探究：在直線AD上任取一點P，連接PB．將線段PB繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，點B的對應點是點E，連接BE，得到△BPE．小明發(fā)現(xiàn)，隨著點P在直線AD上位置的變化，點E的位置也在變化，點E可能在直線AD的左側，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側．請你幫助小明繼續(xù)探究，并解答下列問題：
（1）當點E在直線AD上時，如圖②所示．
①∠BEP=；
②連接CE，直線CE與直線AB的位置關系是 ．
（2）請在圖③中畫出△BPE，使點E在直線AD的右側，連接CE．試判斷直線CE與直線AB的位置關系，并說明理由．
（3）當點P在直線AD上運動時，求AE的最小值．發(fā)布：2025/6/17 6:0:2組卷：133引用：2難度：0.3