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2021-2022學(xué)年浙江省臺(tái)州市椒江區(qū)書(shū)生中學(xué)九年級(jí)（下）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷>
試題詳情
小波在復(fù)習(xí)時(shí)，遇到一個(gè)課本上的問(wèn)題，溫故后進(jìn)行了操作、推理與拓展．
（1）溫故：如圖1，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，正方形PQMN的邊QM在BC上，頂點(diǎn)P，N分別在AB，AC上，若BC=6，AD=4，求正方形PQMN的邊長(zhǎng)．
（2）操作：能畫(huà)出這類(lèi)正方形嗎？小波按數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中的方法進(jìn)行操作：如圖2，任意畫(huà)△ABC，在AB上任取一點(diǎn)P'，畫(huà)正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC邊上，N'在△ABC內(nèi)，連接BN'并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)N，畫(huà)NM⊥BC于點(diǎn)M，NP⊥NM交AB于點(diǎn)P，PQ⊥BC于點(diǎn)Q，得到四邊形PQMN．小波把線(xiàn)段BN稱(chēng)為“波利亞線(xiàn)”．
（3）推理：證明圖2中的四邊形PQMN是正方形．
（4）拓展：在（2）的條件下，在射線(xiàn)BN上截取NE=NM，連接EQ，EM（如圖3）．當(dāng)tan∠NBM=34時(shí)，猜想∠QEM的度數(shù)，并嘗試證明．
請(qǐng)幫助小波解決“溫故”、“推理”、“拓展”中的問(wèn)題．
3
4
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：1897引用：9難度：0.1
相似題
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1．如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=2，AB=5，BC=3．
（1）如圖①，P為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以PD，PC為邊作?PCQD．
①請(qǐng)問(wèn)四邊形PCQD能否成為矩形？若能，求出AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②填空：當(dāng)AP=時(shí)，四邊形PCQD為菱形；
③填空：當(dāng)AP=時(shí)，四邊形PCQD有四條對(duì)稱(chēng)軸．
（2）如圖②，若P為AB上的一點(diǎn)，以PD，PC為邊作?PCQD，請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線(xiàn)PQ的長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
發(fā)布：2025/5/24 11:0:1組卷：701引用：3難度：0.2 -
2．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形ABCD中，點(diǎn)E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE于點(diǎn)O，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，GF⊥AE．求證：AE=FG；
（2）類(lèi)比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，=k（k為常數(shù)）．將矩形ABCD沿GF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點(diǎn)H，連接AE交GF于點(diǎn)O．試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；BCAB
（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接CP，當(dāng)時(shí)k=，若tan∠CGP=34，GF=243，求CP的長(zhǎng)．5
發(fā)布：2025/5/24 10:30:2組卷：3153引用：13難度：0.4 -
3．數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是循序漸進(jìn)、不斷延伸拓展的，數(shù)學(xué)知識(shí)往往起源于人們?yōu)榱私鉀Q某些問(wèn)題，通過(guò)觀(guān)察、測(cè)量、思考、猜想出的一些結(jié)論．但是所猜想的結(jié)論不一定都是正確的．人們從已有的知識(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理、論證后，如果所猜想的結(jié)論在邏輯上沒(méi)有矛盾，就可以作為新的推理的前提，數(shù)學(xué)中稱(chēng)之為定理．
（1）推理證明：
在八年級(jí)學(xué)習(xí)等腰三角形和直角三角形時(shí)，借助工具測(cè)量就能夠發(fā)現(xiàn)：“直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半”，當(dāng)時(shí)并未說(shuō)明這個(gè)結(jié)論的正確性．九年級(jí)學(xué)習(xí)了矩形的判定和性質(zhì)之后，就可以解決這個(gè)問(wèn)題了．如圖1，在Rt△ABC中，若CD是斜邊AB上的中線(xiàn)，則，請(qǐng)你用矩形的性質(zhì)證明這個(gè)結(jié)論的正確性．CD=12AB
（2）遷移運(yùn)用：利用上述結(jié)論解決下列問(wèn)題：
①如圖2，在線(xiàn)段BD異側(cè)以BD為斜邊分別構(gòu)造兩個(gè)直角三角形△ABD與△CBD，E、F分別是BD、AC的中點(diǎn)，判斷EF與AC的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；
②如圖3，?ABCD對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，分別以AC、BD為斜邊且在同側(cè)分別構(gòu)造兩個(gè)直角三角形△ACE與△BDE，求證：?ABCD是矩形．發(fā)布：2025/5/24 10:30:2組卷：291引用：3難度：0.5