“如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D．”這里，根據(jù)已學(xué)的相似三角形的知識(shí)，易證：CDBD=ACBC．在圖1這個(gè)基本圖形的基礎(chǔ)上，繼續(xù)添加條件“如圖2，點(diǎn)E是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)D作FD⊥ED，交直線BC于點(diǎn)F，設(shè)ACBC=nm．”
（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖②，若m=n,點(diǎn)E在線段AC上，則DEDF=11；
（2）數(shù)學(xué)思考：
①如圖3，若點(diǎn)E在線段AC上，則DEDF=nmnm（用含m,n的代數(shù)式表示）；
②當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖4的情形給出證明；
（3）拓展應(yīng)用：若AC=5，BC=25，DF=42，請直接寫出CE的長．
CD
BD
AC
BC
AC
BC
n
m
DE
DF
DE
DF
n
m
n
m
5
5
2
【考點(diǎn)】相似形綜合題．
【答案】1；
n
m
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：985引用：5難度：0.1
相似題
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1．小波在復(fù)習(xí)時(shí)，遇到一個(gè)課本上的問題，溫故后進(jìn)行了操作、推理與拓展．
（1）溫故：如圖1，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，正方形PQMN的邊QM在BC上，頂點(diǎn)P，N分別在AB，AC上，且．若BC=6，AD=4，則正方形PQMN的邊長等于 ；PNBC+MNAD=1
（2）操作：能畫出這類正方形嗎？小波按數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中的方法進(jìn)行操作：如圖2，任意畫△ABC，在AB上任取一點(diǎn)P'，畫正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC邊上，N'在△ABC內(nèi)，連結(jié)BN'并延長交AC于點(diǎn)N，畫NM⊥BC于點(diǎn)M，NP⊥NM交AB于點(diǎn)P，PQ⊥BC于點(diǎn)Q，得到四邊形PQMN；
（3）推理：如圖3，若點(diǎn)E是BN的中點(diǎn)，求證：EP=EQ；
（4）拓展：在（2）的條件下，射線BN上截取NE=NM，連結(jié)EQ，EM（如圖4）．當(dāng)∠NBM=30°時(shí)，猜想∠QEM的度數(shù)，并嘗試證明．
請幫助小波解決“溫故”、“推理”、“拓展”中的問題．發(fā)布：2025/6/7 9:0:2組卷：103引用：3難度：0.3 -
2．問題背景：如圖（1），在矩形ABCD中，過C作CE⊥BD于F，交AD于E，圖中與△ABD相似的三角形有多個(gè)，試寫出其中一個(gè)三角形并證明．
嘗試運(yùn)用：如圖（2），在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G，求證：EG?AB=CD?AG．
拓展創(chuàng)新：如圖（3），在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，BA=BC=1，DA=DC=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，連接DE，CF．若DE⊥CF，求的值．DECF
發(fā)布：2025/6/9 8:30:2組卷：808引用：2難度：0.1 -
3．如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm,AC=6cm,點(diǎn)P由A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度向終點(diǎn)C勻速移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)C出發(fā)以2cm/s的速度向終點(diǎn)B勻速移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)．
（1）填空：在 秒時(shí)，△PCQ的面積為△ACB的面積的；38
（2）經(jīng)過幾秒，以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似？
（3）如圖②，D為AB上一點(diǎn)，且AD=AC，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少時(shí)，CD⊥PQ？發(fā)布：2025/6/9 4:30:2組卷：133引用：2難度：0.3