已知橢圓方程x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），A（m,0）為橢圓外一定點(diǎn)，過A作直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，且有|AP|=λ|AQ|，Q關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B，x軸上一點(diǎn)C，當(dāng)l變化時，證明：點(diǎn)C在BP上的充要條件是C的坐標(biāo)為（a2m，0）．
x
2
a
2
y
2
b
2
|
AP
|
|
AQ
|
a
2
m
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的幾何特征．
【答案】連接AB，
∵B、Q關(guān)于x軸對稱，
∴=，
又==λ，依題意與同向，與同向，
∴=λ，=λ．
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），C（x0，0），則B（x2，-y2），
可得y1=λy2，x1-m=λ（x2-m）①，
x0-x1=λ（x2-x0）②，
又+=1，+=1，
∴=λ2-1③，
將①②代入③中得x0=，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0），
由于上述解題過程可逆，∴C在BP上的充要條件是C的坐標(biāo)為（，0）．
∵B、Q關(guān)于x軸對稱，
∴
|
AQ
|
|
AB
|
又
|
AP
|
|
AB
|
|
PC
|
|
CB
|
AP
AQ
PC
CB
∴
AP
AQ
PC
CB
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），C（x0，0），則B（x2，-y2），
可得y1=λy2，x1-m=λ（x2-m）①，
x0-x1=λ（x2-x0）②，
又
x
2
1
a
2
y
2
1
b
2
x
2
2
a
2
y
2
2
b
2
∴
（
x
1
+
λ
x
2
）
（
λ
x
2
-
x
1
）
a
2
將①②代入③中得x0=
a
2
m
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（
a
2
m
由于上述解題過程可逆，∴C在BP上的充要條件是C的坐標(biāo)為（
a
2
m
【解答】
【點(diǎn)評】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：20引用：2難度：0.1
相似題
-
1．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：104引用：1難度：0.9 -
3．若過點(diǎn)（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個交點(diǎn)，則這樣的直線有（ ?。l．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7