已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為12，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+6=0相切．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)S為橢圓右頂點(diǎn)，過橢圓C的右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)（異于S），直線PS，QS分別交直線x=4于A，B兩點(diǎn)．求證：A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
1
2
6
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】（Ⅰ）=1；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得，S（2，0），右焦點(diǎn)F（1，0）由題意得，直線l的斜率不為零，設(shè)直線l為：x=my+1，設(shè)P（x'，y'），Q（x''，y''），
聯(lián)立直線l與橢圓的方程整理得：（4+3m2）y2+6my-9=0，∴y'+y''=，y'y''=；
∵kPF=，設(shè)直線FP：y=（x-2），與x=4聯(lián)立，得y=，即yA=，
同理可得：yB=，
∴yAyB======-9，為定值，
所以A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值-9．
x
2
4
+
y
2
3
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得，S（2，0），右焦點(diǎn)F（1，0）由題意得，直線l的斜率不為零，設(shè)直線l為：x=my+1，設(shè)P（x'，y'），Q（x''，y''），
聯(lián)立直線l與橢圓的方程整理得：（4+3m2）y2+6my-9=0，∴y'+y''=
-
6
m
4
+
3
m
2
-
9
4
+
3
m
2
∵kPF=
y
′
x
′-
2
y
′
x
′-
2
2
y
′
x
′-
2
2
y
′
x
′-
2
同理可得：yB=
2
y
″
x
″-
2
∴yAyB=
4
y
′
y
″
（
x
′-
2
）
（
x
″-
2
）
4
y
′
y
″
（
my
′-
1
）
（
my
″-
1
）
4
y
′
y
″
m
2
y
′
y
″-
m
（
y
′
+
y
″
）
+
1
-
36
4
+
3
m
2
-
9
m
2
4
+
3
m
2
-
m
-
6
m
4
+
3
m
2
+
1
-
36
4
所以A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值-9．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：312引用：7難度：0.5
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-
1．設(shè)橢圓
+x2a2=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：4501引用：26難度：0.3 -
2．已知橢圓C：
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，-1），離心率為x2a2+y2b2．32
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)B（1，0），求證：點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：368引用：4難度：0.5 -
3．如果橢圓
的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ?。?/h2>x236+y29=1發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：456引用：3難度：0.6