已知F1（-c,0）、F2（c,0）是橢圓E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓E上．
（Ⅰ）若∠F1MF2的最大值是π2，求橢圓E的離心率；
（Ⅱ）設(shè)直線x=my+c與橢圓E交于P、Q兩點(diǎn)，過(guò)P、Q兩點(diǎn)分別作橢圓E的切線l1，l2，且l1與l2交于點(diǎn)R，試問(wèn)：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)R是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，說(shuō)明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
π
2
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)R恒在一條定直線x=上．
證明：先證明橢圓E：（a＞b＞0）上一點(diǎn)M（x0，y0）的切線方程是，
當(dāng)x0y0≠0時(shí)，設(shè)切線方程為：y-y0=k（x-x0），
與橢圓方程聯(lián)立并整理，得：
（b2+a2k2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0，
由Δ=0及，得（）2=0，
∴k=-，
∴切線方程是
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則l1的方程是，
l2的方程是，
聯(lián)立方程組，解得x=，
又∵x1=my1+c，x2=my2+1，
∴x1y2-x2y1=（my1+c）y2-（my2+c）y1=c（y2-y1），
∴=，當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)R恒在一條定直線上，
2
2
（Ⅱ）當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)R恒在一條定直線x=
a
2
c
證明：先證明橢圓E：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=
1
當(dāng)x0y0≠0時(shí)，設(shè)切線方程為：y-y0=k（x-x0），
與橢圓方程聯(lián)立并整理，得：
（b2+a2k2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0，
由Δ=0及
x
0
2
a
2
+
y
0
2
b
2
=
1
a
y
0
b
k
+
b
x
0
a
∴k=-
b
2
x
0
a
2
y
0
∴切線方程是
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=
1
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則l1的方程是
x
1
x
a
2
+
y
1
y
b
2
=
1
l2的方程是
x
2
x
a
2
+
y
2
y
b
2
=
1
聯(lián)立方程組，解得x=
a
2
（
y
2
-
y
1
）
x
1
y
2
-
x
2
y
1
又∵x1=my1+c，x2=my2+1，
∴x1y2-x2y1=（my1+c）y2-（my2+c）y1=c（y2-y1），
∴
x
R
=
a
2
（
y
2
-
y
1
）
x
1
y
2
-
x
2
y
1
a
2
c
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：54引用：3難度：0.1
相似題
-
1．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過(guò)點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過(guò)F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：104引用：1難度：0.9 -
3．若過(guò)點(diǎn)（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的直線有（ ）條．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7