已知F1(-c,0)、F2(c,0)是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦點(diǎn),點(diǎn)M在橢圓E上.
(Ⅰ)若∠F1MF2的最大值是π2,求橢圓E的離心率;
(Ⅱ)設(shè)直線x=my+c與橢圓E交于P、Q兩點(diǎn),過(guò)P、Q兩點(diǎn)分別作橢圓E的切線l1,l2,且l1與l2交于點(diǎn)R,試問(wèn):當(dāng)m變化時(shí),點(diǎn)R是否恒在一條定直線上?若是,請(qǐng)寫出這條直線方程,并證明你的結(jié)論;若不是,說(shuō)明理由.
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
(
a
>
b
>
0
)
π
2
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合.
【答案】(Ⅰ).
(Ⅱ)當(dāng)m變化時(shí),點(diǎn)R恒在一條定直線x=上.
證明:先證明橢圓E:(a>b>0)上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程是,
當(dāng)x0y0≠0時(shí),設(shè)切線方程為:y-y0=k(x-x0),
與橢圓方程聯(lián)立并整理,得:
(b2+a2k2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0,
由Δ=0及,得()2=0,
∴k=-,
∴切線方程是
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則l1的方程是,
l2的方程是,
聯(lián)立方程組,解得x=,
又∵x1=my1+c,x2=my2+1,
∴x1y2-x2y1=(my1+c)y2-(my2+c)y1=c(y2-y1),
∴=,當(dāng)m變化時(shí),點(diǎn)R恒在一條定直線上,
2
2
(Ⅱ)當(dāng)m變化時(shí),點(diǎn)R恒在一條定直線x=
a
2
c
證明:先證明橢圓E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=
1
當(dāng)x0y0≠0時(shí),設(shè)切線方程為:y-y0=k(x-x0),
與橢圓方程聯(lián)立并整理,得:
(b2+a2k2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0,
由Δ=0及
x
0
2
a
2
+
y
0
2
b
2
=
1
a
y
0
b
k
+
b
x
0
a
∴k=-
b
2
x
0
a
2
y
0
∴切線方程是
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=
1
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則l1的方程是
x
1
x
a
2
+
y
1
y
b
2
=
1
l2的方程是
x
2
x
a
2
+
y
2
y
b
2
=
1
聯(lián)立方程組,解得x=
a
2
(
y
2
-
y
1
)
x
1
y
2
-
x
2
y
1
又∵x1=my1+c,x2=my2+1,
∴x1y2-x2y1=(my1+c)y2-(my2+c)y1=c(y2-y1),
∴
x
R
=
a
2
(
y
2
-
y
1
)
x
1
y
2
-
x
2
y
1
a
2
c
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明:本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有,未經(jīng)書(shū)面同意,不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布:2024/6/27 10:35:59組卷:54引用:3難度:0.1
相似題
-
1.點(diǎn)P在以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
(a>0,b>0)上,已知PF1⊥PF2,|PF1|=2|PF2|,O為坐標(biāo)原點(diǎn).E:x2a2-y2b2=1
(Ⅰ)求雙曲線的離心率e;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1,P2兩點(diǎn),且,OP1?OP2=-274,求雙曲線E的方程;2PP1+PP2=0
(Ⅲ)若過(guò)點(diǎn)Q(m,0)(m為非零常數(shù))的直線l與(2)中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N,且(λ為非零常數(shù)),問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)G,使MQ=λQN?若存在,求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.F1F2⊥(GM-λGN)發(fā)布:2024/12/29 10:0:1組卷:72引用:5難度:0.7 -
2.已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1(-3,0),F(xiàn)2(3,0),曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于2
.5
(1)求曲線C的方程;
(2)過(guò)F1(-3,0)引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),求△ABF2的面積.發(fā)布:2024/12/29 10:30:1組卷:104引用:1難度:0.9 -
3.若過(guò)點(diǎn)(0,-1)的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個(gè)交點(diǎn),則這樣的直線有( )條.
A.1 B.2 C.3 D.4 發(fā)布:2024/12/29 10:30:1組卷:26引用:5難度:0.7