綜合與實踐
問題情境：在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“兩個大小不等的等腰直角三角板的直角頂點重合，并讓一個三角板固定，另一個繞直角頂點旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動，如圖1，三角板ABC和三角板CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，點D，E分別在邊BC，AC上，連接AD，點M，P，N分別為DE，AD，AB的中點．試判斷線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．
探究展示：勤奮小組發(fā)現(xiàn)，PM=PN，PM⊥PN．并展示了如下的證明方法：
∵點P，N分別是AD，AB的中點，∴PN∥BD，PN=12BD．
∵點P，M分別是AD，DE的中點，∴PM∥AE，PM=12AE．（依據(jù)1）
∵CA=CB，CD=CE，∴BD=AE，∴PM=PN．
∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC．
∵PM∥AE，∴∠DPM=∠DAC．
∵∠BCA=90°，∴∠ADC+∠CAD=90°．（依據(jù)2）
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠CAD+∠ADC=90°．∴PM⊥PN．
反思交流：
（1）①上述證明過程中的“依據(jù)1”，“依據(jù)2”分別是指什么？
②試判斷圖1中，MN與AB的位置關(guān)系，請直接回答，不必證明；
（2）創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進行探究，把△CDE繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，發(fā)現(xiàn)△PMN是等腰直角三角形，請你給出證明；
（3）縝密小組的同學(xué)繼續(xù)探究，把△CDE繞點C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當CD=4，CB=10時，求△PMN面積的最大值．
PN
=
1
2
BD
PM
=
1
2
AE
【考點】幾何變換綜合題．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/8/1 8:0:9組卷：646引用：3難度：0.1
相似題
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1．如圖，在等邊△ABC中，點D在BC邊上，點E在AC的延長線上，且DE=DA．
（1）求證：∠BAD=∠EDC；
（2）點E關(guān)于直線BC的對稱點為M，聯(lián)結(jié)DM，AM．
①根據(jù)題意將圖補全；
②在點D運動的過程中，DA和AM有什么數(shù)量關(guān)系并證明．發(fā)布：2024/12/23 14:0:1組卷：259引用：2難度：0.2 -
2．如圖（1），在矩形ABCD中，AB=6，BC=2
，點O是AB的中點，點P在AB的延長線上，且BP=3．一動點E從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OA勻速運動，到達A點后，立即以原速度沿AO返回；另一動點F從P點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線PA勻速運動，點E、F同時出發(fā)，當兩點相遇時停止運動，在點E、F的運動過程中，如圖（2）以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線PA的同側(cè)．設(shè)運動的時間為t秒（t＞0）．3
（1）如圖（3），當?shù)冗叀鱁FG的邊FG恰好經(jīng)過點C時，求運動時間t的值；
（2）如圖（4），當?shù)冗叀鱁FG的頂點G恰好落在CD邊上時，求運動時間t的值；
（3）在整個運動過程中，設(shè)等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的自變量，的取值范圍．
發(fā)布：2025/1/13 8:0:2組卷：357引用：2難度：0.5 -
3．如圖，點M為矩形ABCD的邊BC上一點，將矩形ABCD沿AM折疊，使點B落在邊CD上的點E處，EB交AM于點F，在EA上取點G，使EG=EC．若GF=6，sin∠GFE=，則AB=．45發(fā)布：2024/12/23 8:0:23組卷：412引用：2難度：0.1