已知F1、F2是雙曲線C：x2-y215=1的兩個焦點，若離心率等于45的橢圓E與雙曲線C的焦點相同．
（1）求橢圓E的方程；
（2）如果動點P（m,n）滿足|PF1|+|PF2|=10，曲線M的方程為：x22+y22=1．判斷直線l：mx+ny=1與曲線M的公共點的個數(shù)，并說明理由；當直線l與曲線M相交時，求直線l：mx+ny=1截曲線M所得弦長的最大值．
C
：
x
2
-
y
2
15
=
1
4
5
x
2
2
+
y
2
2
=
1
【考點】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的標準方程．
【答案】（1）；
（2）直線l：mx+ny=1與曲線M有兩個公共點．
理由是：
∵動點P（m，n）滿足|PF1|+|PF2|=10，∴P（m，n）是橢圓E上的點，
∴，∴，0≤m2≤25
∵曲線M是圓心為（0，0），半徑為的圓
圓心（0，0）到直線l：mx+ny-1=0的距離=
∴直線l：mx+ny=1與曲線M有兩個公共點．
設直線l：mx+ny=1截曲線M所得弦長t，在0≤m2≤25上遞增
∴當m2=25，m=±5，n=0，即時，t最大為．
x
2
25
+
y
2
9
=
1
（2）直線l：mx+ny=1與曲線M有兩個公共點．
理由是：
∵動點P（m，n）滿足|PF1|+|PF2|=10，∴P（m，n）是橢圓E上的點，
∴
m
2
25
+
n
2
9
=
1
n
2
=
9
-
9
25
m
2
∵曲線M是圓心為（0，0），半徑為
r
=
2
圓心（0，0）到直線l：mx+ny-1=0的距離
d
=
1
m
2
+
n
2
1
9
+
16
25
m
2
≤
1
9
+
0
=
1
3
＜
2
∴直線l：mx+ny=1與曲線M有兩個公共點．
設直線l：mx+ny=1截曲線M所得弦長t，
t
=
2
r
2
-
d
2
=
2
2
-
1
9
+
16
25
m
2
∴當m2=25，m=±5，n=0，即
l
：
x
=±
1
5
14
5
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：42引用：1難度：0.1
相似題
-
1．點P在以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標原點．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且（λ為非零常數(shù)），問在x軸上是否存在定點G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點G的坐標；若不存在，請說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個定點坐標分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點任意一點到兩定點的距離之差的絕對值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：96引用：1難度：0.9 -
3．若過點（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個交點，則這樣的直線有（ ）條．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7