已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為32，過橢圓的左焦點F1且與x軸垂直的直線與橢圓相交于P，Q兩點，△OPQ的面積為32，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）點M、N為橢圓E上不同的兩點，kOM?kON=-b2a2，求證：△OMN的面積為定值．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
3
2
3
2
b
2
a
2
【考點】橢圓的幾何特征．
【答案】（Ⅰ）橢圓E的方程為=1；
（Ⅱ）證明：當l⊥x軸時，設(shè)M（x0，y0），N（x0，-y0），
則，由kOM?kON=-，得×=-，
聯(lián)立解得：
，
，∴S△MON=×=1．
當l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），
聯(lián)立
，化為：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
Δ＞0，可得1+4k2＞m2．
∴x1+x2=，x1x2=，
則|MN|==
=．
由kOM?kON=-，得?=-，
化為4（kx1+m）（kx2+m）+x1x2=0，即（1+4k2）x1x2+4mk（x1+x2）+4m2=0，
∴-+4m2=0，化為：2m2=1+4k2．
把m2=代入|MN|，得|MN|=，
原點O到直線l的距離d=．
∴S△MON=|MN|d=×|m|==1．
綜上得S△MON=1為定值．
x
2
4
+
y
2
（Ⅱ）證明：當l⊥x軸時，設(shè)M（x0，y0），N（x0，-y0），
則
x
0
2
4
+
y
0
2
=
1
b
2
a
2
y
0
x
0
-
y
0
x
0
1
4
聯(lián)立解得：
x 0 = 2 |
y 0 =± 2 2 |
x 0 = - 2 |
y 0 =± 2 2 |
1
2
2
×
2
當l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），
聯(lián)立
y = kx + m |
x 2 + 4 y 2 = 4 |
Δ＞0，可得1+4k2＞m2．
∴x1+x2=
-
8
km
1
+
4
k
2
4
m
2
-
4
1
+
4
k
2
則|MN|=
（
1
+
k
2
）
[
（
x
1
+
x
2
）
2
-
4
x
1
x
2
]
（
1
+
4
k
2
）
[
64
k
2
m
2
（
1
+
4
k
2
）
2
-
4
（
4
m
2
-
4
）
1
+
4
k
2
]
=
4
（
1
+
k
2
）
（
1
+
4
k
2
-
m
2
）
1
+
4
k
2
由kOM?kON=-
b
2
a
2
y
1
x
1
y
2
x
2
1
4
化為4（kx1+m）（kx2+m）+x1x2=0，即（1+4k2）x1x2+4mk（x1+x2）+4m2=0，
∴
（
1
+
4
k
2
）
（
4
m
2
-
4
）
1
+
4
k
2
32
k
2
m
2
1
+
4
k
2
把m2=
1
+
4
k
2
2
2
2
（
1
+
k
2
）
1
+
4
k
2
原點O到直線l的距離d=
|
m
|
1
+
k
2
∴S△MON=
1
2
2
1
+
4
k
2
2
1
+
4
k
2
×
1
+
4
k
2
2
綜上得S△MON=1為定值．
【解答】
【點評】
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