如果把一個(gè)奇數(shù)位的自然數(shù)各數(shù)為上的數(shù)字從最高位到個(gè)位依次排列，與從個(gè)位到最高位依次排列出的一串?dāng)?shù)字完全相同，相鄰兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之差的絕對(duì)值相等（不等于0），且該數(shù)正中間的數(shù)字與其余數(shù)字均不同，我們把這樣的自然數(shù)稱為“階梯數(shù)”，例如自然數(shù)12321，從最高位到個(gè)位依次排出的一串?dāng)?shù)字是：1，2，3，2，1，從個(gè)位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字仍是：1，2，3，2，1，且|1-2|=|2-3|=|3-2|=|2-1|=1，因此12321是一個(gè)“階梯數(shù)”，又如262，85258，…，都是“階梯數(shù)”，若一個(gè)“階梯數(shù)”t從左數(shù)到右，奇數(shù)位上的數(shù)字之和為M，偶數(shù)位上的數(shù)字之和為N，記P（t）=2N-M，Q（t）=M+N．
（1）已知一個(gè)三位“階梯數(shù)”t,其中P（t）=12，且Q（t）為一個(gè)完全平方數(shù)，求這個(gè)三位數(shù)；
（2）已知一個(gè)五位“階梯數(shù)”t能被4整除，且Q（t）除以4余2，求該五位“階梯數(shù)”t的最大值與最小值．
【考點(diǎn)】完全平方數(shù)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：601引用：2難度：0.1
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1．將一個(gè)三位正整數(shù)n各數(shù)位上的數(shù)字重新排列后（含n本身），得到新三位數(shù)abc（a＜c），在所有重新排列中，當(dāng)|a+c-2b|最小時(shí)，我們稱abc是n的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，并規(guī)定F（n）=b2-ac.例如215可以重新排列為125、152、215，因?yàn)閨1+5-2×2|=2，|1+2-2×5|=7，|2+5-2×1|=7，且2＜5＜7，所以125是215的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，F(xiàn)（215）=22-1×5=-1．
（1）F（236）=；
（2）如果在正整數(shù)n三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字中，有一個(gè)數(shù)是另外兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，求證：F（n）是一個(gè)完全平方數(shù)；
（3）設(shè)三位自然數(shù)t=100x+60+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x,y為自然數(shù)），交換其個(gè)位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字得到數(shù)t′．若t-t′=693，那么我們稱t為“和順數(shù)”．求所有“和順數(shù)”中F（t）的最大值．發(fā)布：2025/5/24 19:0:1組卷：121引用：1難度：0.4 -
2．對(duì)任意一個(gè)四位數(shù)n,如果千位與十位上的數(shù)字之和為9，百位與個(gè)位上的數(shù)字之和也為9，則稱n為“極數(shù)”．
（1）請任意寫出兩個(gè)“極數(shù)”，；
（2）猜想任意一個(gè)“極數(shù)”是否是99的倍數(shù)，請說明理由；
（3）如果一個(gè)正整數(shù)a是另一個(gè)正整數(shù)b的平方，則稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)．若四位數(shù)m為“極數(shù)”，記D（m）=，則滿足D（m）是完全平方數(shù)的所有m的值是 ．m33發(fā)布：2024/8/27 6:0:10組卷：276引用：4難度：0.4 -
3．任意一個(gè)大于1的整數(shù)n都可以分割為兩個(gè)正整數(shù)的和：n=p+q（p、q是正整數(shù)，且p≤q）．在n的所有這種分割中．如果p、q兩數(shù)的乘積最大，我們就稱p+q是n的“完美分割”．并規(guī)定在“完美分割”時(shí)：T（n）=pq.例如：6可以分解成1+5，2+4或3+3．因?yàn)?×5＜2×4＜3×3．所以3+3是6的“完美分割”．所以T（6）=3×3=9．
（1）求T（17）的值；
（2）證明：任何一個(gè)大于0的偶數(shù)2k（k為正整數(shù)）都有T（2k）=k2；
（3）一個(gè)正整數(shù)，由N個(gè)數(shù)字組成．若從左向右它的第一位數(shù)能被1整除，它的前兩位數(shù)被2除余1，前三位數(shù)被3除余2，前四位數(shù)被4除余3，…，一直到前N位數(shù)被N除余（N-1），我們稱這樣的數(shù)為“奇特?cái)?shù)”，如：236的第一位數(shù)“2”能被1整除，前兩位數(shù)“23”被2除余1，“236”被3除余2，則236是一個(gè)“奇特?cái)?shù)”．若一個(gè)小于200的三位“奇特?cái)?shù)”記為t,它的各位數(shù)字之和再加上1為一個(gè)完全平方數(shù)，請求出所有“奇特?cái)?shù)”中T（t）的最大值．發(fā)布：2024/11/5 8:0:2組卷：103引用：0難度：0.4
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