【問(wèn)題提出】在由m×n（m×n＞1）個(gè)小正方形（邊長(zhǎng)為1）組成的矩形網(wǎng)格中，該矩形的一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形個(gè)數(shù)與m,n有何關(guān)系？
【問(wèn)題探究】
為探究規(guī)律，我們采用一般問(wèn)題特殊化的策略，通過(guò)分類討論，先從最簡(jiǎn)單的情形入手，再逐次遞進(jìn)，從中找出解決問(wèn)題的方法．
探究一：
當(dāng)m,n互質(zhì)（m,n除1外無(wú)其他公因數(shù)）時(shí)，觀察圖1并完成下表：
| 矩形橫長(zhǎng)m | 2 | 3 | 3 | 5 | 4 | 5 | … |
| 矩形縱長(zhǎng)n | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | … |
| 矩形一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形個(gè)數(shù)f | 2 | 3 | 4 | 6 | 6 | x | … |
7
7
．結(jié)論：當(dāng)m,n互質(zhì)時(shí)，在m×n的矩形網(wǎng)格中，該矩形一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形的個(gè)數(shù)f與m,n之間的關(guān)系式是
f=m+n-1
f=m+n-1
．探究二：當(dāng)m,n不互質(zhì)時(shí)，不妨設(shè)m=ka,n=kb（a,b,k為正整數(shù)，且a,b互質(zhì)），觀察圖2并完成下表：
| a | 2 | 3 | 3 | 5 | 2 | 3 | … |
| b | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | … |
| k | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | … |
| 矩形一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形個(gè)數(shù)f | 4 | 6 | 8 | y | 6 | z | … |
12
12
，z=9
9
．結(jié)論：當(dāng)m,n不互質(zhì)時(shí)，若m=ka,n=kb（a,b,k為正整數(shù)，且a,b互質(zhì)）．在m×n的矩形網(wǎng)格中，該矩形一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形的個(gè)數(shù)f與a,b,k之間的關(guān)系式是
f=k（a+b-1）
f=k（a+b-1）
．【模型應(yīng)用】
一個(gè)由邊長(zhǎng)為1的小正方形組的長(zhǎng)為630，寬為490的矩形網(wǎng)格中，該矩形的一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形的個(gè)數(shù)是
1050
1050
個(gè)．【模型拓展】
如圖3，在一個(gè)由48個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體組成的長(zhǎng)方體中，經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)A，B的直接穿過(guò)的小正方體的個(gè)數(shù)是
6
6
個(gè)．
【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類；勾股定理．
【答案】7；f=m+n-1；12；9；f=k（a+b-1）；1050；6
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2025/5/25 19:30:2組卷：131引用：1難度：0.7
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1．如圖，將一條長(zhǎng)度為1的線段三等分，然后取走其中的一份，稱為第一次操作；再將余下的每一條線段三等分，然后取走其中一份，稱為第二次操作；…如此重復(fù)操作，當(dāng)?shù)趎次操作結(jié)束時(shí)，被取走的所有線段長(zhǎng)度之和為．
發(fā)布：2025/5/25 21:0:1組卷：829引用：45難度：0.7 -
2．如圖，將大小相同的小圓規(guī)律擺放：第1個(gè)圖形有5個(gè)小圓，第2個(gè)圖形有8個(gè)小圓，第3個(gè)圖形有11個(gè)小圓，…依此規(guī)律，第n個(gè)圖形的小圓個(gè)數(shù)是 個(gè)．
發(fā)布：2025/5/25 17:30:1組卷：65引用：2難度：0.5 -
3．如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長(zhǎng)相同的小正方形組成，其中部分小正方形涂有陰影，依此規(guī)律，第10個(gè)圖案中涂有陰影的小正方形的個(gè)數(shù)為（ ?。?br />
發(fā)布：2025/5/25 19:30:2組卷：652引用：4難度：0.6
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