已知F為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦點，|OF|=3，P，Q分別為橢圓C的上下頂點，且△PQF為等邊三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點P的兩條互相垂直的直線l1，l2與橢圓C分別交于異于點P的點A，B，求證：直線AB過定點，并求出該定點坐標．
x
2
a
2
y
2
b
2
3
【考點】橢圓的幾何特征．
【答案】（1）=1．
（2）證明：設直線l1的方程為：y=kx+1，（k＞0），
則直線l1的方程為：y=-x+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．
聯(lián)立
，化為：（1+4k2）x2+8kx=0，
解得x1=-，+1=，可得A（-，）．
聯(lián)立
，化為：（4+k2）x2-8kx=0，
解得x2=，y2=-×+1=，可得B（，）．
∴直線AB的方程為：y-=（x-），
化為：y-=（x-），化為：y=x-．
∴直線AB過定點：．
x
2
4
+
y
2
（2）證明：設直線l1的方程為：y=kx+1，（k＞0），
則直線l1的方程為：y=-
1
k
聯(lián)立
y = kx + 1 |
x 2 + 4 y 2 = 4 |
解得x1=-
8
k
1
+
4
k
2
y
1
=
k
×
-
8
k
1
+
4
k
2
1
-
4
k
2
1
+
4
k
2
8
k
1
+
4
k
2
1
-
4
k
2
1
+
4
k
2
聯(lián)立
y = - 1 k x + 1 |
x 2 + 4 y 2 = 4 |
解得x2=
8
k
4
+
k
2
1
k
8
k
4
+
k
2
k
2
-
4
4
+
k
2
8
k
4
+
k
2
k
2
-
4
4
+
k
2
∴直線AB的方程為：y-
k
2
-
4
k
2
+
4
k
2
-
4
k
2
+
4
-
1
-
4
k
2
1
+
4
k
2
8
k
4
+
k
2
+
8
k
1
+
4
k
2
8
k
4
+
k
2
化為：y-
k
2
-
4
k
2
+
4
k
2
-
1
5
k
8
k
4
+
k
2
k
2
-
1
5
k
3
5
∴直線AB過定點：
（
0
，-
3
5
）
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：388引用：2難度：0.1
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