已知橢圓C：

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

（

a

＞

b

＞

0

）

的左焦點(diǎn)F₁（-

3

，0），點(diǎn)

Q

（

1

，

3

2

）

在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）經(jīng)過圓O：x²+y²=5上一動點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別記為A，B，直線PA，PB分別與圓O相交于異于點(diǎn)P的M，N兩點(diǎn)．
（ⅰ）求證：

OM

+

ON

=

0

；
（ⅱ）求△OAB的面積的取值范圍．

【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

【答案】（Ⅰ）+y²=1；
（Ⅱ）（i）證明：設(shè)P（x₀，y₀），
①當(dāng)直線PA，PB的斜率都存在時，設(shè)過P與橢圓相切的直線方程為y=k（x-x₀）+y₀，
聯(lián)立直線與橢圓的方程，
整理可得（1+4k²）x²+8k（y₀-kx₀）x+4（y₀-kx₀）²-4=0，Δ=64k²（y₀-kx₀）²-4（1+4k²）[4（y₀-kx₀）²-4]，
由題意可得Δ=0，整理可得（4-）k²+2x₀y₀k+1-=0，
設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，所以k₁k₂=，
又+=5，所以==-1，
所以PM⊥PN，即MN為圓O的直徑，所以+=；
②當(dāng)直線PA或PB的斜率不存在時，不妨設(shè)P（2，1），
則直線PA的方程為x=2，
所以M（2，-1），N（-2，1），也滿足+=；
（ii）[，1]．