已知點(diǎn)P（1，32）在橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上，F(xiàn)（1，0）是橢圓的一個焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）橢圓C上不與P點(diǎn)重合的兩點(diǎn)D，E關(guān)于原點(diǎn)O對稱，直線PD，PE分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，求證：以MN為直徑的圓被直線y=32截得的弦長是定值．
P
（
1
，
3
2
）
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
y
=
3
2
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．
【答案】（I）=1．
（II）證明：設(shè)直線DE的方程為：ty=x，D（x1，y1），E（-x1，-y1）．
聯(lián)立
，可得：y2=．
D，E．
直線PD的方程為：y-=（x-1），可得M（0，-）．
直線PE的方程為：y-=（x-1），可得N（0，-）．
以MN為直徑的圓的方程為：x2+（y-+）（y-+）=0，
∴把y=代入可得：x2+=0．即x2=．
解得x=±．
因此被直線截得的弦長=是定值．
x
2
4
+
y
2
3
（II）證明：設(shè)直線DE的方程為：ty=x，D（x1，y1），E（-x1，-y1）．
聯(lián)立
ty = x |
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
12
3
t
2
+
4
D
（
2
3
t
3
t
2
+
4
，
2
3
3
t
2
+
4
）
（
-
2
3
t
3
t
2
+
4
，
-
2
3
3
t
2
+
4
）
直線PD的方程為：y-
3
2
4
3
-
3
3
t
2
+
4
4
3
t
-
2
3
t
2
+
4
3
2
4
3
-
3
3
t
2
+
4
4
3
t
-
2
3
t
2
+
4
直線PE的方程為：y-
3
2
4
3
+
3
3
t
2
+
4
4
3
t
+
2
3
t
2
+
4
3
2
4
3
+
3
3
t
2
+
4
4
3
t
+
2
3
t
2
+
4
以MN為直徑的圓的方程為：x2+（y-
3
2
4
3
-
3
3
t
2
+
4
4
3
t
-
2
3
t
2
+
4
3
2
4
3
+
3
3
t
2
+
4
4
3
t
+
2
3
t
2
+
4
∴把y=
3
2
48
-
9
（
3
t
2
+
4
）
48
t
2
-
4
（
3
t
2
+
4
）
3
4
解得x=±
3
2
因此被直線
y
=
3
2
3
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：954引用：4難度：0.1
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