已知雙曲線x2a2-y23=1（a＞0）的離心率e=2，拋物線C的準(zhǔn)線經(jīng)過其左焦點(diǎn)．
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；
（2）若過拋物線C焦點(diǎn)F的直線l與該拋物線交于A，B兩個不同的點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切．
x
2
a
2
-
y
2
3
=
1
【考點(diǎn)】直線與雙曲線的綜合．
【答案】（1）拋物線的方程為y2=8x，準(zhǔn)線為x=-2；
（2）證明：設(shè)直線AB的方程為x=my+2，
代入拋物線方程可得y2-8my-16=0，
設(shè)A（，y1），B（，y2），
則y1+y2=8m，y1y2=-16，
可得AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為（+）
=（y1+y2）2-y1y2=4m2+2，
則M到準(zhǔn)線的距離為4m2+4，
|AB|=+4=+4
=+4=8m2+8，
可得M到準(zhǔn)線的距離為|AB|，
即以AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切．
（2）證明：設(shè)直線AB的方程為x=my+2，
代入拋物線方程可得y2-8my-16=0，
設(shè)A（
y
1
2
8
y
2
2
8
則y1+y2=8m，y1y2=-16，
可得AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
1
16
y
2
1
y
2
2
=
1
16
1
8
則M到準(zhǔn)線的距離為4m2+4，
|AB|=
y
1
2
+
y
2
2
8
（
y
1
+
y
2
）
2
-
2
y
1
y
2
8
=
64
m
2
+
32
8
可得M到準(zhǔn)線的距離為
1
2
即以AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切．
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：81引用：2難度：0.6
相似題
-
1．已知雙曲線C：
=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)為A，過左焦點(diǎn)F的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)．當(dāng)PQ⊥x軸時，|PA|=x2a2-y2b2，△PAQ的面積為3．10
（1）求C的方程；
（2）證明：以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)．發(fā)布：2024/12/18 0:0:1組卷：706引用：8難度：0.5 -
2．已知雙曲線
的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若A為線段BF1的中點(diǎn)，且BF1⊥BF2，則C的離心率為（ ）C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）發(fā)布：2024/11/8 21:0:2組卷：444引用：8難度：0.5 -
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知等軸雙曲線E：（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)A，過右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與E交于B，C兩點(diǎn)，若△ABC的面積為x2a2-y2b2=1．2+1
（1）求雙曲線E的方程；
（2）若直線l：y=kx-1與雙曲線E的左，右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，與雙曲線E的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍．|MN||PQ|發(fā)布：2024/10/31 12:30:1組卷：540引用：11難度：0.5