如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）交坐標(biāo)軸于A、B、C三點(diǎn)，OA=1，OB=4，∠ACB=90°，點(diǎn)D是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t,DE⊥BC交直線BC于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度最大？最大長(zhǎng)度是多少？
（3）是否存在點(diǎn)D的位置，使△CDE與△AOC相似？若存在，請(qǐng)求出相應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）y=x2-x-2；
（2）當(dāng)t=2時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度最大，且最大值；
（3）D的坐標(biāo)為（3，-2）或（，-）．
1
2
3
2
（2）當(dāng)t=2時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度最大，且最大值
4
5
5
（3）D的坐標(biāo)為（3，-2）或（
3
2
25
8
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：318引用：3難度：0.3
相似題
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1．如圖，拋物線y=-x2-14x+c與x軸相交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），⊙M經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，且圓心M在x軸上．32
（1）求c的值．
（2）求⊙M的半徑．
（3）過點(diǎn)C作直線CD，交x軸于點(diǎn)D，當(dāng)直線CD與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)直線CD是否與⊙M相切？若相切，請(qǐng)證明；若不相切，請(qǐng)求出直線CD與⊙M的另外一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)．發(fā)布：2025/6/2 1:30:2組卷：257引用：3難度：0.4 -
2．如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與直線y=12x+3交于A，B兩點(diǎn)，交x軸于C、D兩點(diǎn)，連接AC、BC，已知A（0，3），C（-3，0）．12
（1）求此拋物線的解析式；
（2）在拋物線對(duì)稱軸l上找一點(diǎn)M，使|MB-MD|的值最大，并求出這個(gè)最大值；
（3）點(diǎn)P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，過點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q，問：是否存在點(diǎn)P，使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．發(fā)布：2025/6/2 1:30:2組卷：2880引用：8難度：0.1 -
3．拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為a+b+c.
（1）求a,b應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系；
（2）若拋物線上任意不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）都滿足：當(dāng)時(shí)，（x1-x2）（y1-y2）＜0；當(dāng)x1＜x2＜ca時(shí)，（x1-x2）（y1-y2）＞0．直線y=c與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，且△PMN為等腰直角三角形．ca＜x1＜x2
①求拋物線的解析式；
②若直線AB恒過定點(diǎn)（1，1），且以AB為直徑的圓與直線y=m總有公共點(diǎn)，求m的取值范圍．發(fā)布：2025/6/2 1:30:2組卷：84引用：1難度：0.1