【深度閱讀】蘇格蘭哲學(xué)家托馬斯?卡萊爾（1795-1881）曾給出了一元二次方程x2+bx+c=0的幾何解法：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（0，1），B（-b,c），以AB為直徑作⊙P．若⊙P交x軸于點M（m,0），N（n,0），則m,n為方程x2+bx+c=0的兩個實數(shù)根．
【自主探究】（1）由勾股定理得，AM2=12+m2，BM2=c2+（-b-m）2，AB2=（1-c）2+b2，在Rt△ABM中，AM2+BM2=AB2，所以12+m2+c2+（-b-m）2=（1-c）2+b2．化簡得：m2+bm+c=0．同理可得：n2+bn+c=0n2+bn+c=0．
所以m,n為方程x2+bx+c=0的兩個實數(shù)根．
【遷移運用】（2）在圖2中的x軸上畫出以方程x2-3x-2=0兩根為橫坐標(biāo)的點M，N．
（3）已知點A（0，1），B（4，-3），以AB為直徑作⊙C．判斷⊙C與x軸的位置關(guān)系，并說明理由．
【拓展延伸】（4）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點A（0，a），B（-b,c），若以AB為直徑的圓與x軸有兩個交點M，N，則以點M，N的橫坐標(biāo)為根的一元二次方程是 x2+bx+ac=0x2+bx+ac=0．
【考點】圓的綜合題．
【答案】n2+bn+c=0；x2+bx+ac=0
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/10/11 1:0:1組卷：136引用：2難度：0.4
相似題
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1．如圖1，以點O為圓心，半徑為4的圓交x軸于A，B兩點，交y軸于C，D兩點，點P為劣弧AC上的一動點，延長CP交x軸于點E；連接PB，交OC于點F．
（1）若點F為OC的中點，求PB的長；
（2）求CP?CE的值；
（3）如圖2，過點O作OH∥AP交PD于點H，當(dāng)點P在弧AC上運動時，連接AC，PC．試問△APC與△OHD相似嗎？說明理由；的值是否保持不變？若不變，試證明，求出它的值；若發(fā)生變化，請說明理由．APDH
發(fā)布：2025/6/24 18:30:1組卷：272引用：1難度：0.5 -
2．如圖，已知⊙O′與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，圓心O′的坐標(biāo)是（1，-1），半徑為．5
（1）比較線段AB與CD的大??；
（2）求A、B、C、D四點的坐標(biāo)；
（3）過點D作⊙O′的切線，試求這條切線的解析式．發(fā)布：2025/6/24 20:0:2組卷：43引用：1難度：0.5 -
3．下面是“用三角板畫圓的切線”的畫圖過程．
如圖1，已知圓上一點A，畫過A點的圓的切線．畫法：
（1）如圖2，將三角板的直角頂點放在圓上任一點C（與點A不重合）處，使其一直角邊經(jīng)過點A，另一條直角邊與圓交于B點，連接AB；
（2）如圖3，將三角板的直角頂點與點A重合，使一條直角邊經(jīng)過點B，畫出另一條直角邊所在的直線AD．則直線AD就是過點A的圓的切線．
請回答：①這種畫法是否正確 （是或否）；
②你判斷的依據(jù)是：．
發(fā)布：2025/6/25 8:0:1組卷：19引用：1難度：0.4