已知拋物線y=-14x2+bx+c經(jīng)過點A（4，2），頂點為B，對稱軸是直線x=2．
（1）求拋物線的解析式和頂點B的坐標．
（2）如圖1，拋物線與y軸交于點C，連接AC，過A作AD⊥x軸于點D，E是線段AC上的動點（點E不與A，C兩點重合）．
①若直線BE將四邊形ACOD分成面積比為1：3的兩部分，求點E的坐標．
②如圖2，將點D向下平移1個單位長度到點D′，連接D′E，作矩形D′EFG，在點E的運動過程中，是否存在點G落在y軸上的同時點F恰好落在拋物線上？若存在，直接寫出AE的長；若不存在，請說明理由．
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【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）拋物線的函數(shù)表達式為：y=-x2+x+2，頂點B的坐標為（2，3）；
（2）①點E的坐標為（，2）或（，2）；②存在，AE的長為．
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（2）①點E的坐標為（
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【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：39引用：1難度：0.1
相似題
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1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A（1，0）和B（3，0），點D為線段BC上一動點，過點D作y軸的平行線交拋物線于點E，連結BE．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當△COB和△DEB相似時，求點D的坐標；
（3）在拋物線上是否存在這樣的點P，使得∠ACP=45°，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
發(fā)布：2025/5/24 18:30:1組卷：140引用：1難度：0.1 -
2．如圖，半徑為1的⊙O1與x軸交于A，B兩點，圓心O1的坐標為（2，0），二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過A，B兩點，與y軸交于點C，頂點為M，直線BM與y軸交于點D．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）經(jīng)過坐標原點O的直線l與⊙O1相切，求直線l的解析式；
（3）試問在x軸上是否存在點P，使△PMD的周長最?。咳舸嬖?，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/5/24 18:30:1組卷：323引用：3難度：0.1 -
3．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A、B兩點，點B坐標為（4，0），拋物線的對稱軸方程為x=1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時點N從B點出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設△MBN的面積為S，點M運動時間為t,試求S與t的函數(shù)關系，并求S的最大值；
（3）在點M運動過程中，是否存在某一時刻t,使△MBN為直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/5/24 18:30:1組卷：4097引用：18難度：0.1