如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=Rt∠，AB=6，BC=8，P，Q分別是邊BC，CA上的動點，以PQ為直徑構造⊙O交BC于點D（異于點P）．在點P，Q的運動過程中，始終滿足CQ=54BP．
（1）求證：CD=BP．
（2）如圖，連結(jié)OD，當∠QOD=2∠C時，求⊙O的直徑．
（3）設E為AC的中點，連結(jié)OE，在P，Q的運動過程中，是否存在某一時刻，使△EOQ為等腰三角形，若存在，求出BP的值；若不存在，請說明理由．
CQ
=
5
4
BP
【考點】圓的綜合題．
【答案】（1）證明見解析；
（2）；
（3）或或或．
（2）
10
3
（3）
7
4
16
7
8
3
64
13
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：211引用：1難度：0.4
相似題
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1．[問題提出]
（1）如圖1，已知線段AB=4，點C是一個動點，且點C到點B的距離為2，則線段AC長度的最大值是 ；
[問題探究]
（2）如圖2，以正方形ABCD的邊CD為直徑作半圓O，E為半圓O上一動點，若正方形的邊長為2，求AE長度的最大值；
[問題解決]
（3）如圖3，某植物園有一塊三角形花地ABC，經(jīng)測量，AC=20米，BC=120米，∠ACB=30°，BC下方有一塊空地（空地足夠大），為了增加綠化面積，管理員計劃在BC下方找一點P，將該花地擴建為四邊形ABPC，擴建后沿AP修一條小路，以便游客觀賞．考慮植物園的整體布局，擴建部分△BPC需滿足∠BPC=60°．為容納更多游客，要求小路AP的長度盡可能長，問修建的觀賞小路AP的長度是否存在最大值？若存在，求出AP的最大長度；若不存在，請說明理由．3
發(fā)布：2025/5/23 10:30:1組卷：904引用：8難度：0.2 -
2．問題研究．
如圖1，AD是△ABC的中線，AH是BC邊上的高．
（1）當AH=6，CD=5，DH=3時，AB=．
（2）求證：AB2+AC2=2AD2+2BD2．
問題解決
（3）某地為打造元宵節(jié)燈展景觀，需按如下要求設計一批燈展造型．如圖2，矩形ABCD是造型框架，以頂點A為圓心懸掛圓形燈架（⊙A），以B，C為頂點釘兩個正方形展板（正方形BEHG和正方形CENM），接合點點E恰好在⊙A上．若AD=1.4m,AB=2.4m,⊙A的半徑為0.7m,求兩個正方形展板面積和的最小值．發(fā)布：2025/5/23 10:30:1組卷：128引用：3難度：0.1 -
3．如圖，已知O是△ABC邊AB上的一點，以O為圓心、OB為半徑的⊙O與邊AC相切于點D，且BC=CD，連接OC，交⊙O于點E，連接BE并延長，交AC于點F．
（1）求證：BC是⊙O切線；
（2）求證：OA?AB=AD?AC；
（3）若，求EO的長．AC=10，tan∠BAC=43發(fā)布：2025/5/23 11:30:2組卷：738引用：4難度：0.3