如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，將線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α得線段BE，連接CE、DE，其中CE與AB交于點(diǎn)F．
（1）如圖1，若D為AC中點(diǎn)，α=90°，BC=4，求BF的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若∠ABE=∠ADB，猜想線段AD，BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）如圖3，在（2）的條件下，將△BDE沿BD翻折得△BDE'，M為AB的中點(diǎn)，連接ME′，當(dāng)ME′最小時(shí)，在△BCD內(nèi)找一點(diǎn)P，使3PB+2PD+7PC的值最小，若BC=4，直接寫出3PB+2PD+7PC的最小值．
3
PB
+
2
PD
+
7
PC
3
PB
+
2
PD
+
7
PC
【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．
【答案】（1）見(jiàn)解析；
（2）AD=2BF，證明見(jiàn)解析；
（3）2．
（2）AD=2BF，證明見(jiàn)解析；
（3）2
39
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/23 12:26:7組卷：444引用：2難度：0.2
相似題
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1．如圖1，等邊△ABC中，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，作點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD，BD，作AE⊥BD于點(diǎn)E；
（1）若∠PAC=10°，依題意補(bǔ)全圖1，并直接寫出∠BCD的度數(shù)；
（2）如圖2，若∠PAC=α（0°＜α＜30°），
①求證：∠BCD=∠BAE；
②用等式表示線段BD，CD，AE之間的數(shù)量關(guān)系 ．發(fā)布：2025/5/25 19:30:2組卷：186引用：2難度：0.3 -
2．[問(wèn)題發(fā)現(xiàn)]如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為斜邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；
[探究證明]如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC．AD=AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一條直線上時(shí)，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，說(shuō)明理由；
[拓展延伸]如圖3，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=2CD=4，過(guò)點(diǎn)C作CA⊥BD于A．將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠CAE為a（0°＜a＜360°），當(dāng)C，D，E在同一條直線上時(shí)，畫出圖形，并求出線段BE的長(zhǎng)度．
發(fā)布：2025/5/25 22:0:1組卷：405引用：1難度：0.3 -
3．下面是某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題作的探究活動(dòng)：
（1）如圖1，小明同學(xué)得出△OAC≌△BPC，他的判斷理由是 ．問(wèn)題：
如圖1，已知，∠MON=60°，點(diǎn)A在邊OM上，點(diǎn)P是邊ON上一動(dòng)點(diǎn)，以線段AP為斜邊作Rt△ACP，AC=PC，∠ACP=90°（C和O在AP的兩側(cè)），連接OC，將線段OC繞C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至BC，連接OB．
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
（2）如圖2，小穎同學(xué)作BD⊥ON于D，她認(rèn)為OA與BD存在某種數(shù)量關(guān)系，那么OA與BD是否有數(shù)量關(guān)系？如果有數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你寫出OA與BD的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；
（3）如圖1，小華說(shuō)，當(dāng)OA=2，當(dāng)△AOP是直角三角形時(shí)，可求出OB2的值，請(qǐng)你直接寫出OB2的值．發(fā)布：2025/5/25 22:30:2組卷：142引用：2難度：0.1
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