已知雙曲線Γ：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的焦距為4，直線l：x-my-4=0（m∈R）與Γ交于兩個(gè)不同的點(diǎn)D、E，且m=0時(shí)直線l與Γ的兩條漸近線所圍成的三角形恰為等邊三角形．
（1）求雙曲線Γ的方程；
（2）若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以線段DE為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)A、B分別是Γ的左、右兩頂點(diǎn)，線段BD的垂直平分線交直線BD于點(diǎn)P，交直線AD于點(diǎn)Q，求證：線段PQ在x軸上的射影長為定值．
x
2
a
2
y
2
b
2
【考點(diǎn)】直線與雙曲線的綜合．
【答案】（1）-y2=1；
（2）m＞或m＜-；
（3）證明：雙曲線的頂點(diǎn)A（-，0），B（，0），
由（2）可得線段BD的垂直平分線交直線BD于點(diǎn)P（，），
直線BD的斜率為，可得BD的垂直平分線方程為y-=-（x-），①
AD的方程為y=（x+），②
由D在雙曲線上可得-3=3，即-3=3，③
聯(lián)立①②③解得xQ=+，
則線段PQ在x軸上的射影長為|xP-xQ|=．即為定值．
x
2
3
（2）m＞
3
3
（3）證明：雙曲線的頂點(diǎn)A（-
3
3
由（2）可得線段BD的垂直平分線交直線BD于點(diǎn)P（
3
+
x
1
2
y
1
2
直線BD的斜率為
y
1
x
1
-
3
y
1
2
x
1
-
3
y
1
3
+
x
1
2
AD的方程為y=
y
1
x
1
+
3
3
由D在雙曲線上可得
x
2
1
y
2
1
x
2
1
y
2
1
聯(lián)立①②③解得xQ=
x
1
2
3
4
則線段PQ在x軸上的射影長為|xP-xQ|=
3
4
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：426引用：4難度：0.5
相似題
-
1．已知雙曲線C：
=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)為A，過左焦點(diǎn)F的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)．當(dāng)PQ⊥x軸時(shí)，|PA|=x2a2-y2b2，△PAQ的面積為3．10
（1）求C的方程；
（2）證明：以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)．發(fā)布：2024/12/18 0:0:1組卷：705引用：8難度：0.5 -
2．已知雙曲線
的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若A為線段BF1的中點(diǎn)，且BF1⊥BF2，則C的離心率為（ ）C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）發(fā)布：2024/11/8 21:0:2組卷：444引用：8難度：0.5 -
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知等軸雙曲線E：（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)A，過右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與E交于B，C兩點(diǎn)，若△ABC的面積為x2a2-y2b2=1．2+1
（1）求雙曲線E的方程；
（2）若直線l：y=kx-1與雙曲線E的左，右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，與雙曲線E的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍．|MN||PQ|發(fā)布：2024/10/31 12:30:1組卷：540引用：11難度：0.5