已知：△ABC中AB=AC，M為底邊BC上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q．
探究：（1）線段QM、PM、AB之間有什么關(guān)系？并說(shuō)明你的理由．
（2）當(dāng)M位于BC的什么位置時(shí)，四邊形AQMP是菱形？并說(shuō)明你的理由．
（3）當(dāng)△ABC滿足什么條件，菱形AQMP是正方形？
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】（1）AB=QM+PM，理由見(jiàn)解答；
（2）點(diǎn)M位于BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AQMP是菱形；理由見(jiàn)解答；
（3）當(dāng)△ABC滿足∠A=90°時(shí)，菱形AQMP是正方形，理由見(jiàn)解答．
（2）點(diǎn)M位于BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AQMP是菱形；理由見(jiàn)解答；
（3）當(dāng)△ABC滿足∠A=90°時(shí)，菱形AQMP是正方形，理由見(jiàn)解答．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2025/6/6 3:30:7組卷：15引用：2難度：0.1
相似題
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1．在線上教學(xué)中，教師和學(xué)生都學(xué)習(xí)到了新知識(shí)，掌握了許多新技能．例如教材八年級(jí)下冊(cè)的數(shù)學(xué)活動(dòng)一折紙，就引起了許多同學(xué)的興趣．在經(jīng)歷圖形變換的過(guò)程中，進(jìn)一步發(fā)展了同學(xué)們的空間觀念，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．
實(shí)踐發(fā)現(xiàn)：
對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM，把紙片展平，連接AN，如圖①．
（1）①計(jì)算出∠MNE=°；
②繼續(xù)折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)H處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BG，把紙片展平，如圖②，則∠GBN=°；
拓展延伸：
（2）如圖③，折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A'處，并且折痕交BC邊于點(diǎn)T，交AD邊于點(diǎn)S，把紙片展平，連接AA'交ST于點(diǎn)O，連接AT．求證：四邊形SATA'是菱形；
解決問(wèn)題：
（3）如圖④，矩形紙片ABCD中，AB=10，AD=26，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A'處，并且折痕交AB邊于點(diǎn)T，交AD邊于點(diǎn)S，把紙片展平．同學(xué)們小組討論后，得出線段AT的長(zhǎng)度有4，5，7，9．
請(qǐng)寫出以上4個(gè)數(shù)值中你認(rèn)為正確的數(shù)值 ．
發(fā)布：2025/6/7 2:30:1組卷：127引用：1難度：0.3 -
2．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，△BEF為等邊三角形，點(diǎn)E在AB邊上，點(diǎn)F在AB邊的左側(cè)．
（1）如圖1，若D，E，F(xiàn)在同一直線上，求BF的長(zhǎng)；
（2）如圖2，連接AF，CE，BD，并延長(zhǎng)CE交AF于點(diǎn)H，若CH⊥AF，求證：AE+2FH=BD；2
（3）如圖3，將△ABF沿AB翻折得到△ABP，點(diǎn)Q為AP的中點(diǎn)，連接CQ，若點(diǎn)E在射線BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CQ的最小值．
發(fā)布：2025/6/7 2:0:5組卷：1043引用：10難度：0.2 -
3．探究問(wèn)題．
（1）方法感悟：
如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證：DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空：
將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上．
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°，即∠GAF=∠EAF．
又AG=AE，AF=AF，
△GAE≌．
∴GF=EF，故DE+BF=EF．
（2）方法遷移：
如圖②，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF=∠DAB．試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．12
（3）問(wèn)題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點(diǎn)，滿足∠EAF=∠DAB，試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時(shí)，可使得DE+BF=EF．請(qǐng)直接寫出你的猜想（不必說(shuō)明理由）．12發(fā)布：2025/6/7 1:0:2組卷：119引用：1難度：0.1