[問(wèn)題提出]
正多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊距離之和與這個(gè)正多邊形的半徑R和中心角有什么關(guān)系？
[問(wèn)題探究]
如圖①，△ABC是等邊三角形，半徑OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，P到△ABC各邊距離PF、PE、PD分別為h₁、h₂、h₃，設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)是a,面積為S．過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB．
∴OM=Rcos

1

2

∠AOB=Rcos60°，AM=Rsin

1

2

∠AOB=Rsin60°，AB=2AM=2Rsin60°
∴S_△ABC=3S_△AOB=3×

1

2

AB×OM=3R²sin60°cos60°①
∵S_△ABC又可以表示為

1

2

a（h₁+h₂+h₃）②
聯(lián)立①②得

1

2

a（h₁+h₂+h₃）=3R²sin60°cos60°
∴

1

2

×2Rsin60°（h₁+h₂+h₃）=3R²sin60°cos60°
∴h₁+h₂+h₃=3Rcos60°

[問(wèn)題解決]
如圖②，五邊形ABCDE是正五邊形，半徑OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，P到△ABC各邊距PH、PM、PN、PI、PL分別為h₁、h₂、h₃、h₄、h₅，參照（1）的分析過(guò)程，探究h₁+h₂+h₃+h₄+h₅的值與正五邊形ABCDE的半徑R及中心角的關(guān)系．
[性質(zhì)應(yīng)用]
（1）正六邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和h₁+h₂+h₃+h₄+h₅+h₆=

6Rcos30°

6Rcos30°

．
（2）如圖③，正n邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和h₁+h₂+h_n-1+h_n=

nRcos

180

°

n

nRcos

180

°

n

．