阿基米德是有史以來最偉大的數學家之一．他與牛頓、高斯并稱為三大數學王子．在后世的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內容．前蘇聯(lián)在1964年根據阿爾?比魯尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．
【定理內容】一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點．
【定理模型】如圖①，已知AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是⊙O的一條折弦），BC＞AB，M是?ABC的中點，那么從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD．
下面是運用“補短法”證明CD=AB+BD的部分證明過程：
如圖②，延長DB至點F．使BF=BA，連接MF，MB，MC，MA，AC，…
【定理證明】按照上面思路，寫出剩余部分的證明過程．
【問題解決】如圖③，△ABC內接于⊙O，已知AB=AC=22，D為?AC上一點，連接AD，DC，∠ABD=45°，∠CBD=15°，求△BDC的周長．
?
ABC
2
?
AC
【考點】圓的綜合題．
【答案】【定理證明】見解析；
【問題解決】4+2．
【問題解決】4+2
2
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：323引用：2難度：0.3
相似題
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1．如圖，已知O是△ABC邊AB上的一點，以O為圓心、OB為半徑的⊙O與邊AC相切于點D，且BC=CD，連接OC，交⊙O于點E，連接BE并延長，交AC于點F．
（1）求證：BC是⊙O切線；
（2）求證：OA?AB=AD?AC；
（3）若，求EO的長．AC=10，tan∠BAC=43發(fā)布：2025/5/23 11:30:2組卷：738引用：4難度：0.3 -
2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，OA平分∠BAC交BC于點O，以O為圓心，OC長為半徑作圓交BC于點D．
（1）如圖1，求證：AB為⊙O的切線；
（2）如圖2，AB與⊙O相切于點E，連接CE交OA于點F．
①試判斷線段OA與CE的位置關系，并說明理由．
②若OF：FC=1：2，求tanB的值．發(fā)布：2025/5/23 12:0:2組卷：1493引用：4難度：0.5 -
3．已知平面直角坐標系xOy中的點P和⊙O，⊙O的半徑是4，交x軸于點A，B．對于點P給出如下定義：過點C的直線與⊙O交于點M，N，點P為線段MN的中點，我們把這樣的點P叫做關于MN的“弦中點”．
（1）如圖1，已知點C（-2，0）；
①點P1（0，0），P2（-1，1），P3（2，2）中是關于MN的“弦中點”的是 ；
②若一次函數y=x+b的圖象上只存在一個關于MN的“弦中點”，求b的值；12
（2）如圖2，若C（-6，0），一次函數y=x+b的圖象上存在關于MN的“弦中點”，直接寫出b的取值范圍．
發(fā)布：2025/5/23 12:0:2組卷：673引用：3難度：0.3