已知雙曲線x24-y22=1．
（1）過M（1，1）的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若M為AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程．
（2）是否存在直線L，使N（1，12）為L被雙曲線所截弦的中點(diǎn)，若存在，求出L的方程，若不存在，說明理由．
x
2
4
-
y
2
2
1
2
【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征．
【答案】解：（1）y=x+；
（2）假設(shè)存在直線l，使N（1，）為l被雙曲線所截弦的中點(diǎn)．
則設(shè)弦CD的C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x3，y3），（x4，y4），
則-2=4，-2=4，
相減可得，（x3-x4）（x3+x4）=2（y3-y4）（y3+y4）
由N為CD的中點(diǎn)，則x3+x4=2，y3+y4=1，
則k==1，
則直線CD的方程為：y-=x-1，即y=x-，
代入雙曲線方程x2-2y2=4，可得，x2-2x+=0，
由于判別式為4-9＜0，則該直線l不存在．
1
2
1
2
（2）假設(shè)存在直線l，使N（1，
1
2
則設(shè)弦CD的C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x3，y3），（x4，y4），
則
x
2
3
y
2
3
x
2
4
y
2
4
相減可得，（x3-x4）（x3+x4）=2（y3-y4）（y3+y4）
由N為CD的中點(diǎn)，則x3+x4=2，y3+y4=1，
則k=
y
3
-
y
4
x
3
-
x
4
則直線CD的方程為：y-
1
2
1
2
代入雙曲線方程x2-2y2=4，可得，x2-2x+
9
4
由于判別式為4-9＜0，則該直線l不存在．
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：752引用：4難度：0.1
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