如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+2與x軸的兩交點分別是A（-1，0），B（4，0），與y軸交于點C，連接BC．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點P為直線BC上方拋物線上的點，過P作PE⊥AB于點E，交BC于點D，F為射線DC上的點，連接PF，且∠FPD=∠FDP，求PF+PD的最大值，以及此時點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，將拋物線y=ax2+bx+2沿射線BC方向平移5個單位長度，平移后的拋物線與y軸交于點Q，點M為平移后拋物線對稱軸上的點，N為平面內一點，直接寫出所有使得以點P，Q，M，N為頂點的四邊形為菱形的點N的坐標．
5
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）拋物線的解析式為y=-x2+x+2；
（2）PF+PD的最大值為+2，此時P（2，3）；
（3）點N的坐標為（，）或（，）或（，）．
1
2
3
2
（2）PF+PD的最大值為
5
（3）點N的坐標為（
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13
2
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【解答】
【點評】
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發(fā)布：2025/5/22 8:30:1組卷：511引用：3難度：0.3
相似題
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1．已知：拋物線y=a（x+3）（x-2）交x軸于點A和點C，與y軸交于點B，且
．tan∠BAC=43
（1）求拋物線解析式；
（2）點P是第四象限拋物線上一點，連接AP交y軸于點F，若點P的橫坐標為t,△ABF的面積為s,求s與t的關系式；
（3）在（2）的條件下，，延長AF、BC交于點G，點H在線段AF上，過點H作HE⊥BC于點E，EH的延長線交拋物線于點D，點M在直線AF下方的第四象限內，連接MH、ME、MG，∠HMG+∠OBC=90°-∠NAC，點N在AG的延長線上，連接MN并延長交x軸于點K，AK=MH，當△MHE的面積為9，點N是MK的中點時，求點D的橫坐標．s=152
?發(fā)布：2025/5/22 13:0:1組卷：481引用：3難度：0.1 -
2．對于平面直角坐標系xOy中的任意兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），給出如下定義：點P與點Q的“直角距離”為：d（P，Q）=|x1-x2|+|y1-y2|．例如：若點M（-1，3），點N（4，1），則點M與點N的“直角距離”為：d（M，N）=|-1-4|+|3-1|=5+2=7．根據以上定義，解決下列問題：
（1）已知點P（4，-3）．
①若點A（2，-4），則d（P，A）=；
②若點B（b,1），且d（P，B）=6，則b=；
③已知點C（m,n）是直線y=-x+2上的一個動點，且d（P，C）＜5，求m的取值范圍．
（2）已知點C（3，0），P為平面直角坐標系內一點，且滿足d（P，C）=2．
①若點P在y=x2-8x+17圖象上，求點P的坐標；
②若點P在直線y=kx+5上，求k的取值范圍．
（3）在平面直角坐標系xOy中，P為動點，且d（O，P）=4，⊙M圓心為M（t,0），半徑為1．若⊙M上存在點N使得PN=1，求t的取值范圍．
發(fā)布：2025/5/22 13:30:1組卷：292引用：1難度：0.1 -
3．如圖，已知二次函數y=-x2+2x+3的圖象交x軸分別于A，D兩點，交y軸于B點，頂點為C．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）求tan∠BAC；
（3）在y軸上是否存在一點P，使得以P，B，D三點為頂點的三角形與△ABC相似？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/5/22 13:0:1組卷：607難度：0.3