如圖1，拋物線y=12x2+bx+c（c＜0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，過點C作CD∥x軸，與拋物線交于另一點D，直線BC與AD相交于點M．
（1）已知點C的坐標(biāo)是（0，-4），點B的坐標(biāo)是（4，0），求此拋物線的解析式；
（2）若b=12c+1，求證：AD⊥BC；
（3）如圖2，設(shè)第（1）題中拋物線的對稱軸與x軸交于點G，點P是拋物線上在對稱軸右側(cè)部分的一點，點P的橫坐標(biāo)為t,點Q是直線BC上一點，是否存在這樣的點P，使得△PGQ是以點G為直角頂點的直角三角形，且滿足∠GQP=∠OCA，若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．
y
=
1
2
x
2
+
bx
+
c
（
c
＜
0
）
b
=
1
2
c
+
1
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）y=x2-x-4；
（2）證明見解答；
（3）存在，t=或．
1
2
（2）證明見解答；
（3）存在，t=
7
13
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：181引用：1難度：0.4
相似題
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1．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y0=x2+bx+c與x軸交于點A（-2，0），點B（6，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線y0的表達(dá)式及點C的坐標(biāo)；
（2）若點D0是拋物線y0上一動點，連接CD0，點D0在拋物線y0上運動時；
①取CD0的中點D1，當(dāng)點D0與點A重合時，D1的坐標(biāo)為 ；當(dāng)點D0與點B重合時，D1的坐標(biāo)為 ；請在圖2的網(wǎng)格中畫出點D1的運動軌跡，并猜想點D1的運動軌跡是什么圖形：；并求點D1運動軌跡的函數(shù)y1的解析式；
②在線段CD1上取中點D2，點D2運動軌跡的函數(shù)的解析式為y2，在線段CD2上取中點D3，點D3的運動軌跡的函數(shù)的解析式為y3，……，在線段CDn-1上取中點Dn，點Dn的運動軌跡的函數(shù)的解析式為yn（n為正整數(shù)）；請求出函數(shù)yn的解析式（用含n的式子表示）．
③若直線y=x+m與系列函數(shù)y0，y1，y2，……，yn的圖象共只有4個交點，求m的取值范圍．
發(fā)布：2025/5/25 8:30:2組卷：174引用：3難度：0.2 -
2．在直角坐標(biāo)系中，點A（1，m）和點B（3，n）在二次函數(shù)y=ax2+bx+1（a≠0）的圖象上．
（1）若m=1，n=4，求二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的對稱軸．
（2）若，試說明二次函數(shù)的圖象與x軸必有交點．m-n=12
（3）若點C（x0，y0）是二次函數(shù)圖象上的任意一點，且滿足y0≤m,求mn的取值范圍．發(fā)布：2025/5/25 9:0:1組卷：1369引用：2難度：0.4 -
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線
x2+bx+c與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點C，連接BC．y=12
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點D（m,0）為線段OB上一動點（不與O，B重合），過點D作平行于y軸的直線交BC于點M，交拋物線于點N，是否存在點D使點M為線段DN的三等分點，若存在求出點D坐標(biāo)，若不存在請說明理由；
（3）過點O作直線l∥BC，點P，Q為第一象限內(nèi)的點，且Q在直線l上，P為l上方拋物線上的點，是否存在這樣的點P，Q，使△PQB∽△COB，若存在直接寫出P，Q坐標(biāo)，若不存在請說明理由．
發(fā)布：2025/5/25 9:0:1組卷：561引用：2難度：0.2
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