在①離心率e=12，②橢圓C過點（1，32），③△PF1F2面積的最大值為3，這三個條件中任選一個，補充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個問題．
設橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F，過F1且斜率為k的直線l交橢圓于P、Q兩點，已知橢圓C的短軸長為23，_____．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若線段PQ的中垂線與x軸交于點N，求證：|PQ||NF1|為定值．
e
=
1
2
（
1
，
3
2
）
3
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
2
3
|
PQ
|
|
N
F
1
|
【答案】（1）+=1；
（2）證明：設直線l的方程為y=k（x+1），聯(lián)立橢圓方程可得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，
設P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2=-，x1x2=，
可得|PQ|=?=?=，
設PQ的中點為H（t，s），可得t==-，s=，
由題意可得kHN==-，解得xN=-，
可得|NF1|=|-1+|=，
可得=4，即為定值．
x
2
4
y
2
3
（2）證明：設直線l的方程為y=k（x+1），聯(lián)立橢圓方程可得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，
設P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2=-
8
k
2
3
+
4
k
2
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
可得|PQ|=
1
+
k
2
（
x
1
+
x
2
）
2
-
4
x
1
x
2
1
+
k
2
64
k
4
（
3
+
4
k
2
）
2
-
16
k
2
-
48
3
+
4
k
2
12
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
設PQ的中點為H（t，s），可得t=
x
1
+
x
2
2
4
k
2
3
+
4
k
2
3
k
3
+
4
k
2
由題意可得kHN=
3
k
3
+
4
k
2
-
4
k
2
3
+
4
k
2
-
x
N
1
k
k
2
3
+
4
k
2
可得|NF1|=|-1+
k
2
3
+
4
k
2
3
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
可得
|
PQ
|
|
N
F
1
|
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：253引用：8難度：0.5
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