已知橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）過點（0，1），且橢圓的離心率e=32．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線l過點A（1，0）且與橢圓相交于C、D兩點，橢圓的右頂點為B，試判斷∠CBD是否能為直角．若能為直角，求出直線l的方程，若不行，請說明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
3
2
【考點】橢圓的幾何特征．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）不能為直角，理由：
①當(dāng)直線l垂直x軸時，易得C（1，），D（1，-）．
橢圓的右頂點為B（2，0），，），
≠0，∠CBD是不為直角．
②當(dāng)直線l不垂直x軸時，可設(shè)直線y=k（x-1）代入橢圓方程，消去y可得：（1+4k2）x2-8k2x+4k2-4=0
設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），
則有x1+x2=，x1x2=，
又B（2，0）
=（x1-2，y1），=（x2-2，y2），
若∠CBD是否能為直角，
則（x1-2）（x2-2）+y1y2=（1+k2）x1x2-（k2+2））（x1+x2）+k2+4=-（k2+2）?+k2+4=0，
解得（1+k2）（4k2-4）-（k2+2）?8k2+（k2+4）（1+4k2）=0，
?k=0．不符合題意．
故∠CBD不能為直角．
x
2
4
+
y
2
=
1
（Ⅱ）不能為直角，理由：
①當(dāng)直線l垂直x軸時，易得C（1，
3
2
3
2
橢圓的右頂點為B（2，0），
BC
=
（
-
1
，
3
2
）
BD
=
（
-
1
，-
3
2
BC
?
BD
=
1
-
3
4
②當(dāng)直線l不垂直x軸時，可設(shè)直線y=k（x-1）代入橢圓方程，消去y可得：（1+4k2）x2-8k2x+4k2-4=0
設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），
則有x1+x2=
8
k
2
1
+
4
k
2
4
k
2
-
4
1
+
4
k
2
又B（2，0）
BC
BD
若∠CBD是否能為直角，
則（x1-2）（x2-2）+y1y2=（1+k2）x1x2-（k2+2））（x1+x2）+k2+4=
（
1
+
k
2
）
?
（
4
k
2
-
4
）
1
+
4
k
2
8
k
2
1
+
4
k
2
解得（1+k2）（4k2-4）-（k2+2）?8k2+（k2+4）（1+4k2）=0，
?k=0．不符合題意．
故∠CBD不能為直角．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：794引用：4難度：0.6
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