【閱讀理解】
數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們進(jìn)行推理，獲得結(jié)論．初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以借助幾何圖形進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．
例如：求1+2+3+4+…+n的值（其中n是正整數(shù)）．
如果采用數(shù)形結(jié)合的方法，即用圖形的性質(zhì)來說明數(shù)量關(guān)系的事實(shí)，那就非常的直觀．現(xiàn)利用圖形的性質(zhì)來求1+2+3+4+…+n的值，方案如下：如圖1，斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1，2，3，…，n個(gè)小圓圈排列組成的．而組成整個(gè)三角形小圓圈的個(gè)數(shù)恰為所求式子1+2+3+4+…+n的值．為求式子的值，現(xiàn)把左邊三角形倒放于斜線右邊，與原三角形組成一個(gè)平行四邊形．此時(shí)，組成平行四邊形的小圓圈共有n行，每行有（n+1）個(gè)小圓圈，所以組成平行四邊形小圓圈的總個(gè)數(shù)為n（n+1）個(gè)，因此，組成一個(gè)三角形小圓圈的個(gè)數(shù)為

n

（

n

+

1

）

2

，即1+2+3+4+?+n=

n

（

n

+

1

）

2

．

【問題提出】
求1³+2³+3³+?+n³的值（其中n是正整數(shù)）．
【問題解決】
為解決上述問題，我們借鑒已有的經(jīng)驗(yàn)，采用由特殊到一般，歸納的研究方法，利用數(shù)形結(jié)合法，借助圖形進(jìn)行推理獲得結(jié)論．
探究1
如圖2，1³可以看成1個(gè)1×1的正方形的面積，即1³=1×1²=1²．
探究2
如圖3，A表示1個(gè)1×1的正方形，其面積為：1×1²=1³；B表示1個(gè)2×2的正方形，其面積為：1×2²；C，D分別表示1個(gè)1×2的長(zhǎng)方形，其面積的和為：2×1×2=1×2²；B，C，D的面積和為1×2²+1×2²=（1+1）×2²=2³，而A，B，C，D恰好可以拼成一個(gè)（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：1³+2³=（1+2）²=3²．
探究3
請(qǐng)你類比上述探究過程，借助圖形探究：1³+2³+3³=

（1+2+3）²

（1+2+3）²

=

6²

6²

．（要求自己構(gòu)造圖形并寫出推證過程）
【結(jié)論歸納】
將上述探究過程發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，推廣到一般情況中去，通過歸納，我們便可以得到：1³+2³+3³+?+n³=

（1+2+3+???+n）²

（1+2+3+???+n）²

=

．（要求直接寫出結(jié)論，不必寫出推證過程）
【結(jié)論應(yīng)用】
圖4是由若干個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體搭成的大正方體，圖中大小正方體一共有多少個(gè)？
為了準(zhǔn)確數(shù)出大小正方體的總個(gè)數(shù)，我們可以分類統(tǒng)計(jì)，即數(shù)出棱長(zhǎng)分別是1，2，3，4，5，6的正方體的個(gè)數(shù)，再求總和．
例如：棱長(zhǎng)是1的正方體有：6×6×6=6³個(gè)，
棱長(zhǎng)是2的正方體有：5×5×5=5³個(gè)，
…
棱長(zhǎng)是6的正方體有：1×1×1=1³個(gè)；

然后利用上面歸納的結(jié)論，通過計(jì)算，可得圖4中大小正方體的個(gè)數(shù)為

441

441

．
【逆向應(yīng)用】
如果由若干個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體搭成的大正方體中，大小正方體一共有36100個(gè)，那么棱長(zhǎng)為1的小正方體的個(gè)數(shù)為

6859

6859

．
【拓展探究】
觀察下列各式：1³=1；2³=3+5；3³=7+9+11；4³=13+15+17+19；??
若m³（m為正整數(shù)）按上面規(guī)律展開后，發(fā)現(xiàn)等式右邊含有“2021”這個(gè)數(shù)，則m的值

m≥45

m≥45

．