已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F1（-1，0），上頂點(diǎn)為B1，原點(diǎn)O到直線B1F1的距離為32．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)T在圓x2+y2=2上，點(diǎn)A為橢圓的右頂點(diǎn)，是否存在過(guò)點(diǎn)A的直線l交橢圓C于點(diǎn)B（異于點(diǎn)A），使得OT=147（OA+OB）成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
3
2
OT
14
7
OA
+
OB
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）．
（2）假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)A的直線l適合題意，則結(jié)合圖形易判斷知直線l的斜率必存在，
于是可設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），
由
，得（3+4k2）x2-16k2x+16k2-12=0．（*）
因?yàn)辄c(diǎn)A是直線l與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)，且xA=2．
所以xA?xB=，所以xB=，
即點(diǎn)B（，-）．
所以=（，-），即=（，-）．
因?yàn)辄c(diǎn)T在圓x2+y2=2上，所以?[]=2，
化簡(jiǎn)得48k4-8k2-21=0，解得k2=，所以k=±．
經(jīng)檢驗(yàn)知，此時(shí)（*）對(duì)應(yīng)的判別式Δ＞0，滿足題意．
故存在滿足條件的直線l，其方程為y=±（x-2）．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)A的直線l適合題意，則結(jié)合圖形易判斷知直線l的斜率必存在，
于是可設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），
由
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
y = k （ x - 2 ） |
因?yàn)辄c(diǎn)A是直線l與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)，且xA=2．
所以xA?xB=
16
k
2
-
12
3
+
4
k
2
8
k
2
-
6
3
+
4
k
2
即點(diǎn)B（
8
k
2
-
6
3
+
4
k
2
12
k
3
+
4
k
2
所以
OA
+
OB
16
k
2
3
+
4
k
2
12
k
3
+
4
k
2
OT
14
7
16
k
2
3
+
4
k
2
12
k
3
+
4
k
2
因?yàn)辄c(diǎn)T在圓x2+y2=2上，所以
2
7
（
16
k
2
3
+
4
k
2
）
2
+
（
-
12
k
3
+
4
k
2
）
2
化簡(jiǎn)得48k4-8k2-21=0，解得k2=
3
4
3
2
經(jīng)檢驗(yàn)知，此時(shí)（*）對(duì)應(yīng)的判別式Δ＞0，滿足題意．
故存在滿足條件的直線l，其方程為y=±
3
2
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/10/8 12:0:1組卷：322引用：2難度：0.5
相似題
-
1．設(shè)橢圓
+x2a2=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：4513引用：26難度：0.3 -
2．已知橢圓C：
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，-1），離心率為x2a2+y2b2．32
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)B（1，0），求證：點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：370引用：4難度：0.5 -
3．如果橢圓
的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ）x236+y29=1發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：456引用：3難度：0.6