探究閱讀題：
【閱讀】在大自然里，有很多數(shù)學(xué)的奧秘，一片美麗的心形葉片，一棵生長(zhǎng)的幼苗都可以看作把一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成．（如圖1和圖2）
【探究任務(wù)1】確定心形葉片的形狀
如圖3建立平面直角坐標(biāo)系，心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數(shù)y=mx2-4mx-20m+5圖象的一部分，且過(guò)原點(diǎn)，求拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【探究任務(wù)2】研究心形葉片的尺寸
如圖3，心形葉片的對(duì)稱軸直線y=x+2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，直線x=6分別交拋物線和直線AB于點(diǎn)E、F點(diǎn)，點(diǎn)E、E′是葉片上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，EE′交直線AB與點(diǎn)G，求葉片此處的寬度EE′．
【探究任務(wù)3】研究幼苗葉片的生長(zhǎng)小李同學(xué)在觀察幼苗生長(zhǎng)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函數(shù)y=mx2-4mx-20m+5圖象的一部分．如圖4，幼苗葉片下方輪廓線正好對(duì)應(yīng)探究任務(wù)1中的二次函數(shù)，已知直線PD與水平線的夾角為45°，三天后，點(diǎn)D長(zhǎng)到與點(diǎn)P同一水平位置的點(diǎn)D′時(shí)，葉尖Q落在射線OP上，如圖5所示，求此時(shí)幼苗葉子的長(zhǎng)度和最大寬度．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】【探究任務(wù)1】：，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 （2，-1）；
【探究任務(wù)2】：；
【探究任務(wù)3】：葉片此時(shí)的長(zhǎng)度為，最大寬度為．
y
=
1
4
x
2
-
x
=
1
4
（
x
-
2
）
2
-
1
【探究任務(wù)2】：
5
2
【探究任務(wù)3】：葉片此時(shí)的長(zhǎng)度為
3
5
3
5
5
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/24 8:0:9組卷：750引用：2難度：0.2
相似題
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1．已知二次函數(shù)解析式為y=x2-bx+2b-3．
（1）當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）和點(diǎn)（m,n）時(shí)，等式m2-4m-n=-5是否成立？并說(shuō)明理由；
（2）已知點(diǎn)P（4，5）和點(diǎn)Q（-1，-5），且線段PQ與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍．發(fā)布：2025/5/23 13:0:1組卷：278引用：1難度：0.4 -
2．拋物線y=ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，直線AD交拋物線于點(diǎn)D（2，m）．
（1）求拋物線和直線AD的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)Q是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QE∥AD，交BD于點(diǎn)E，連接DQ，若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m,0），求△QED的面積S與m的函數(shù)表達(dá)式，并寫出S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值，并直接寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）如圖2，直線AD交y軸于點(diǎn)F，點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，當(dāng)四邊形CMNF周長(zhǎng)取最小值時(shí)，求出滿足條件的點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)．
發(fā)布：2025/5/23 13:30:1組卷：898引用：4難度：0.4 -
3．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-2，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在BC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P．
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某位置時(shí)，以線段BP，BO為鄰邊的平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)恰好也在拋物線上，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②如圖2，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，求線段PD長(zhǎng)的最大值．發(fā)布：2025/5/23 13:30:1組卷：165引用：1難度：0.2